现代数学和物理的关系---要学好物理,要先把数学学好哟!!

现代数学和物理的关系(节选自数学http://conneslucky.blog.sohu.com/)

“我们能直觉地感觉到几何概念或许让几何成为宇宙构成的最好语言。在21世纪,我们将无法区别下面的学科:物理学:量子力学,广义相对论,弦理论。几何学:示性类,指标公式。非线性椭圆、抛物方程、双曲系统、混合型方程。拓扑、代数几何、数论。”——丘成桐

我们从以下两个方面可以看出现代数学和物理的关系:

(a) Newton的古典引力理论只用到微积分。Einstein的狭义相对论用到简单的线性代数,数学家Minkowski几乎同时得到类似结果。Einstein的广义相对论则需要用到Riemann几何来研究时空和引力。从数学上,Hilbert也得到Einstein方程。

(b) Maxwell的电磁学方程也只用到多元微积分。但数学家Weyl、Cartan对引力和电磁力的统一理论的研究(1920年代开始)促进了微分几何的发展,导致了向量丛、主丛上联络理论的出现。1940年代Chern-Weil理论的出现标志着微分几何与代数拓扑的完美结合(联络理论与示性类理论的统一)。

(c) 1950年代Yang-Mills规范理论提出后,逐渐成为统一后三种作用力的理论基础。1970年代发现这种理论对应着几何学中的联络理论。

(d) 1960年代出现的超弦理论在1970年代作为可能统一广义相对论和规范理论的终极理论得到大量研究。数学上1970年代由于丘成桐证明Calabi猜想而得到的大量Calabi-Yau空间是超弦理论中主要的研究对象之一。超弦理论的研究涉及数学的许多主流分支,是数学和物理学相互促进的重要领域而受到广泛关注。

几何工程(geometric engineering)是超弦理论中提出的一个重要理论:从超弦理论得到规范场论:

从Calabi-Yau到Yang-Mills

上述理论的相互关联:

1。指标理论和模空间。

Atiyah和Singer等人发展的指标理论可追溯到Riemann-Roch定理和Gauss-Bonnet-Chern定理,其发展依赖Chern-Weil示性类理论。各种量子场论(如量子引力、量子规范场、非线性σ-model等)牵涉到各种模空间上的积分。模空间的结构需要用指标理论来研究,而其上的积分则要用以下的谈到的局部化方法来研究。场论中的各种反常(如gravitional anomaly, chiralanomaly)也需要用指标理论来研究。

1970年代Atiyah和Singer用指标理论研究规范场论中instanton的模空间1980年代Donaldson将他们的结果发展为研究四维流形的全新工具,启发了Witten的拓扑量子场论概念的引入。1990年代a. Witten引进Seiberg-Witten方程及其模空间b. Gromov-Witten理论(全纯映射模空间理论)开始盛行c. 镜像对称(Calabi-Yau空间两种模空间的对偶性)被提出并得到广泛研究

2。等变上同调和局部化方方法法。几何学中有许多局部与整体关系的结果。如Poincare-Hopf定理:流形的Euler数可由向量场的奇点算出。Lefschetz不动点定理:映射的Lefschetz数可由映射的不动点算出。陈先生的关于Gauss-Bonnet定理的工作利用了Poincare-Hopf定理。推广到复的情形有Bott residue theorem。

由Chern-Weil理 论 发 展 出equivariant cohomol-ogy和Atiyah-Bott localization theorem。在指标理论里有Atiyah等人发展的一般的Lefschetz不动点定理。这些局部化结果是研究带对称的数学或物理系统的有力工具,在数学和物理中都有广泛的应用。在拓扑量子场论中由等变上同调理论也发展出了的Mathai-Quillen xxxxalism.

局部化方法也是超弦的数学理论中的重要方法。连文豪、刘克峰、丘成桐用它证明了著名的镜像原理。去年由刘秋菊、刘克峰和我证明的Mari˜no-Vafa猜想及其推广,以及在Gromov-Witten理论中的应用都是以这种方法为基础的。物理学家也广泛使用这种方法,如在几何工程的研究中。

3。Chern-Simons理论和扭结不不变变量。产生与1970年代的Chern-Simons理论根源在1940年代陈先生的工作中。Chern-Simons理论意想不到的在物理中有很多应用。1980年代,Witten发现

a. Chern-Simons理论可用来构造三维流形上不依赖度量的场。

b. 它 与 共 形 场 论 (conxxxxal field theory)中的WZW model的关系,在数学中这种模型对应于Kac-Moody代数的表示理论。

c. 它 与 量 子 群(quantum group), 对 应 于 物 理中Yang-Baxter方程的解,有很大关系。

d. 以上两种代数结构都可以用来构造扭结不变量,如Jones polynomial和HOMFLY polynomial.可以用以下图表来表示:

Chern-Simons理论 Yang-Baxter方程 Kac-Moody代数 link invariants

它们都在认识自然界的终极理论的最前沿的探索中起着关键作用。

是否随着超弦的数学理论理论进一步发展,这六项成果全部可以统一呢?事实上,物理学家已经开始用超弦理论研究引力和黑洞,如Strominger-Vafa对Bekenstein-Hawking熵做了弦理论解释。Hawking(霍金)在杭州的演讲题目A brane newworld中的brane就是超弦理论中发展出来的。如果相信超弦理论确实能统一引力理论和规范场论的话,可以预见,这第六项与其他五项的统一是迟早的事