深入浅出地讲解麦克斯韦方程组

2017-01-10 by:CAE仿真在线来源:互联网

有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组?感觉到基本不太可能啊,你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么??那既然这样,我只能躲躲闪闪,不细谈任何具体的推导和数学关系,纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。

1. 力、能、场、势

经典物理研究的一个重要对象就是力 force。比如牛顿力学的核心就是 F=ma 这个公式,剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好,它是个向量 vector(既有大小又有方向),所以即便是简单的受力分析,想解出运动方程却难得要死。很多时候,从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量 energy 说到底就是力在空间上的积分(能量=功=力×距离),所以和力是有紧密联系的,而且能量是个标量 scalar,加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力,从能量出发,算运动方程比牛顿力学要简便得多。

在电磁学里,我们通过力定义出了场 field 的概念。我们注意到洛仑兹力总有着 F=q(E+v×B) 的形式,具体不谈,单看这个公式就会发现力和电荷(或电荷×速度)程正比。那么我们便可以刨去电荷(或电荷×速度)的部分,仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说,场是某种遍布在空间中的东西,当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子,就可以理解为一个电荷制造了电场,而另一个电荷在这个电场中受到了力,反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情,刨去能量中的电荷(或电荷×速度),剩下的部分便是势 potential

一张图表明关系:

具体需要指出,这里的电场(标为 E)和磁场(标为 B)都是向量场,也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把 xyz 三个分量分开来看的话,这就是三个标量场。而能量和势是标量(电磁学中的势其实并不是标量,原因马上揭晓),放到空间中也就是一个标量场。在力 / 场和能量 / 势之间互相转化的时候,我们是在 31 个标量场之间转化,必然有一些信息是丢掉了的。怎么办?

一个显而易见的答案是“保守力场”conservative force field。在这样一个场中,能量(做功)不取决于你选择什么样的路径。打个比方,你爬一座山,无论选择什么路径,只要起点和终点一样,那么垂直方向上的差别都是一样的,做的功也一样多。在这种情况下,我们对力场有了诸多限制,也就是说,我假如知道了一个保守力场的 x 一个分量,那么另两个分量 yz 就随之确定了,我没得选(自由度其实只有一个标量场)。有了保守力场这样的额外限制,向量场F(3 个标量场)和(1 个)标量场 V 之间的转化便不会失去信息了。具体而言,二者关系可以写作 F=-∇V。这里不说具体细节,你只要知道 ∇ 是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了(叫做算符 operator)。

那么我们想问,电场和磁场是不是保守力场呢?很不幸,不是。在静电学中,静止的电场是保守的,但在电动力学中,只要有变化的电场和磁场,电场就不是一个保守力场了;而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明,在电磁学中,我们很少涉及能量这个概念,因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念,尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分,但我们没有办法,这是不让信息丢掉的唯一办法。那么,既然势也是标量,它是否也是一个没什么用的概念呢?恰恰相反,在电动力学中我们定义出了“向量势”vector potential,以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。

总而言之,我想说明一点,那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场,而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势(包括电势和磁向量势)也是有用的概念,而且不像引力势是一个标量,在电磁学中势不得不变成一个向量。

2. 麦克斯韦方程组
前边说到,麦克斯韦方程组 Maxwell equations 是描述电场和磁场的方程。前边也说到,因为电磁场不是保守力场,它们有三个标量场的自由度,所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此,麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分,而整个方程组也有积分形式和微分形式两种。这两种形式是完全等价的,只是两种不同的写法。这里我先全部写出。

积分形式:

微分形式:

这里 E 表示电场,B 表示磁场,ε0 和μ0 只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中 Q 是电荷,I 是电流,V 表示一块体积,∂V 表示它的表面,而 S 表示一块曲面,∂S 表示它的边缘。微分形式中 ρ 是电荷密度(电荷 / 体积),J 是电流密度(电流 / 面积),∇ · 和 ∇ × 是两个不同的算符,基本可以理解为对向量的某种微分。

先不说任何细节,我们可以观察一下等式的左边。四个方程中,两个是关于电场 E 的,两个是关于磁场 B 的;两个是曲面积分 ∫da 或者散度 ∇ ·,两个是曲线积分 ∫dl 或者旋度 ∇ ×。不要管这些术语都是什么意思,我后面会讲到。但光看等式左边,我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西,非常对称。

3. 电荷 -> 电场,电流 -> 磁场
这一部分和下一部分中,我来简单讲解四个式子分别代表什么意思,而不涉及任何定量和具体的计算。

我们从两个电荷之间的库仑力讲起。库仑定律 Coulomb's Law 是电学中大家接触到的最早的定律,有如下形式:

其中 Q 是电荷,r 是电荷之间的距离,r 是表示方向的单位向量。像我之前说的,把其中一个电荷当作来源,然后刨去另一个电荷,就可以得到电场的表达式。

高中里应该还学过安培定律 Ampere's Law,也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式,但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源(电荷)之间的“力”,而安培定律是描述了“一个”来源(电流)产生的“场”。事实上,电磁学中也有磁场版本的库仑定律,描述了两个微小电流之间的力,叫做毕奥 - 萨伐尔定律 Biot-Savart Law;反之,也有电场版本的安培定律,描述了一个电荷产生的磁场,叫做高斯定律 Gauss's Law。这四个定律之间有如下关系:

数学上可以证明库仑定律(毕奥 - 萨伐尔定律)和高斯定律(安培定律)在静电学(静磁学)中是完全等价的,也就是说我们可以任意假设一个定律,从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学,前者是非常不便的而后者很却容易,所以尽管库仑定律在中学中常常提到,麦克斯韦方程组中却没有它,有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的 (1) 和 (4) 的第一项,即:

高斯定律(积分、微分形式):

安培定律(积分、微分形式):

我们继续推迟讲解数学关系,单看这几个式子本身,就能看到等式的左边有电场 E(磁场 B),而右边有电荷 Q(电流 I)或电荷密度ρ(电流密度 J)。看,电荷产生电场,电流产生磁场!

4. 变化磁场 -> 电场,变化磁场 -> 电场
然而这不是故事的全部,因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应,也就是说变化的磁场是可以产生电场的,这就是法拉第定律 Faraday's Law。类似地,麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善,除了电流以外,变化的电场也可以产生磁场,这被称为安培 - 麦克斯韦定律 Ampere-Maxwell Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的 (2) 和 (4) 的第二项,即:

法拉第定律(积分、微分形式):

安培 - 麦克斯韦定律(积分、微分形式):

同样地,等式的左边有电场 E(磁场 B),而右边有磁场 B(电场 E)的导数 d/dt 或偏导 ∂/∂t。看,变化磁场产生电场,变化电场产生磁场!
需要指出的是,我这样的说法其实是不准确的,因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场(磁场)和磁场(电场)的变化率之间的定量关系,而不是因果关系。

小结一下,我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思,基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学,具体看看这些方程到底说了什么。在这之前,我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。

5. 向量积分
普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积,我们用长 x 乘宽 y,即 xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的(也就是说宽是一个长的函数,即宽=y(x)),那么我们就需要积分,记为“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度,比如在一块体积 V 内,若电荷密度为 ρ,那么这块体积内的总电荷就是 Q=ρV;如果 ρ 在空间中每一点都不一样,是个关于坐标的函数 ρ(x),那么就要变成积分 Q=∫∫∫ρ(x)dV(这里三个 ∫ 表示是一个三维的积分,很多时候也可以省略写为一个 ∫)。

在向量场中,这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂,必须使用点乘 dot product,即 u·v,它暗示着两个向量之间的角度,也就是有多么平行。如果 u 和 v 完全平行,它们的点乘是一个正值;如果方向相反,则是一个负值;如果垂直,那么为 0。另一方面,我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积 V,我们可以只积一个曲面 S 或者一条曲线 γ。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。

曲面积分 surface integral 有如下形式:

其中 S 表示我们需要积的曲面,F 是我们想要积的向量场,· 代表点乘,a 指向垂直于 S 的方向。因此,我们看到,如果 F 和 S 是平行的,那么点乘处处得 0,这个曲面积分也为 0。换句话说,曲面积分表示着向量场 F 穿过曲面 S 的程度,因此也很形象地叫做通量 flux。下图为两个简单的例子(虚线 ---- 表示曲面所在的位置):
曲面积分(通量)为 0:

曲面积分(通量)不为 0:

那么曲线积分 line integral 也很类似,只不过我们不积一个曲面 S 而是一个一维的曲线 γ。它有如下形式:

其中γ表示我们需要积的曲线,·代表点乘,l指向曲线γ的方向。不难看出,曲线积分表示着向量场 F 沿着曲线 γ 的程度。下图为两个简单的例子(虚线 ---- 表示曲线γ):
曲线积分不为 0:

曲线积分为 0:

特别地,如果曲线是闭合的(首尾相连的),那么我们可以在积分符号 ∫ 上画一个圈,表示闭合,然后这个特殊的曲线积分叫做环量 circulation,因为是积了一个环嘛。很显然,如果 F 是个保守力场,那么我随便找一个闭合曲线,做的功都一定为 0(这就是保守力场的定义啊),所以保守力场的任意环量都为 0。最后一提,“环量”这个名字很少使用,一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。

定义一个通量所使用的曲面 S 则不一定要是闭合的,任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的,我们也可以在积分符号∫∫上画上一个圈,代表闭合,但这个量则没有一个特殊的名字了。

总结如下表:

6. 麦克斯韦方程组的积分形式

我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式,我们应该都能看懂了。

(1)、高斯定律:

电场 E 在闭合曲面 ∂V 上的通量,等于该曲面包裹住的体积 V 内的电荷(乘上系数 1/ε0);

(2)、法拉第定律:电场 E 在闭合曲线 ∂S 上的环量,等于磁场 B 在该曲线环住的曲面 S 上的通量的变化率(乘上系数 -1);

(3)、高斯磁定律:磁场 B 在闭合曲面 ∂V 上的通量,等于 0;

(4)、安培麦克斯韦定律:磁场 B 在闭合曲线 ∂S 上的环量,等于该曲线环住的曲面 S 里的电流(乘上系数 μ0),加上电场 E 在该曲线环住的曲面 S 上的通量的变化率(乘上系数 μ0ε0)。

虽然在我看来,这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了,但对于没有学习过微积分的同学来说,显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。

(1) 高斯定律:
例子1:假设我们有一个点电荷 Q,以其为球心作一个球,把这块体积称为 V,那么∂V 就是这个球的表面。这个电荷 Q 产生了一些电场,从中心的 Q 向外发射,显然电场线都穿过了球的表面∂V,所以“闭合曲面∂V 的通量”是个正数,不为 0,而“该曲面包裹住的电荷”为 Q,也不为 0。

例子2:假设我们把电荷 Q 替换为 -Q,那么所有的电场线方向都反过来了,∂V 的通量(记得通量中的点乘吗?)也因此获得了一个负号,所以“闭合曲面 ∂V 的通量”变成了负数,而“该曲面包裹住的电荷”为 -Q,也变成了负数。等式再一次成立。

例子3:假设我们把这个球的半径扩大为原来的 2 倍,这个球的表面积就变成了原来的 4 倍。与此同时,由于库仑力的反比平方定律,由于球表面与球心电荷 Q 的距离变成了原来的 2 倍,在球表面 ∂V 的电场强度也变成了原来的 1/4。通量(电场和面积的积分)获得一个系数 4,又获得一个系数 1/4,所以“闭合曲面 ∂V 的通量”没有变,而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为 Q,也没有变。

例子4:事实上,我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积,算出来的通量都不会变(尽管会非常难算),因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。

例子5:假设我们把电荷移到这个曲面外面,那么电场线会从这个球的一面穿透进去,然后从另一面出来,所以当我们做积分的时候,两个方向的通量抵消了,整个“闭合曲面∂V 的通量”为 0,而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷,所以“该曲面包裹住的电荷”也为 0。等式成立。

(2) 法拉第定律:

例子6:一圈闭合导线,环住了一块曲面 S,则记这个曲线的位置为 ∂S,那么经过 ∂S 的电场 E 的环量其实就是导线内的电势(电压)。垂直于 S 通过一些磁场 B,则通过 S 的磁通量不为 0。然而此时导线内并没有电流,也就是说,并没有电压,“闭合曲线 ∂S 的环量”为 0。这是很显然的,因为磁通量并没有变化,没有电磁感应,换句话说,“曲面 S 上的通量的变化率”为 0。

例子7:这个时候我突然增加磁场,所以磁通量变大了,“磁通量的变化率”为正,不为 0。因此,等式的左边“闭合曲线 ∂S 的环量”也为正,不为 0,也就是说,导线内产生了一些电压,继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。

例子8:如果我不是增加磁场,而是减小磁场,那么磁通量变小了,“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线 ∂S 的环量”也获得了一个负号,换句话说,感应电流的方向反了过来。

(3) 高斯磁定律:

例子9:随便选择一个闭合曲面,整个曲面上的磁通量一定为 0。这和电场的情况迥然不同,因此说明,不像有可以产生电场的“电荷”,这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”(也就是“磁单极子”)的。 (4) 安培 - 麦克斯韦定律:

例子10:假设我们有一个电流 I,以其为轴作一个圆,把这个圆称为 S,那么 ∂S 就是这个圆的边缘。这个电流 I 产生了一些磁场,(按照右手定则)绕着导线。显然磁场线和∂S 都是“绕着导线”,方向一致,所以“闭合曲线 ∂S 的环量”是个正数,不为 0,而“该曲线环住的电流”为 I,也不为 0。

例子11:假设我们改变电流方向,即把 I 变成 -I,那么所有的磁场线方向都反过来了,∂S 的环量也因此获得了一个负号,所以“闭合曲线 ∂S 的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。

例子12:和高斯定律很像,我们随便怎么改变这一个环的大小、面积,只要环住的电流不变,算出来的环量都不会变(尽管可能会非常难算)。而若电流在这个环外面,尽管仍然有磁场存在,但在计算环量时相互抵消,使得等式两边都变成 0。

例子13:“变化的电场产生磁场”(即第二项)的例子非常难找,这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述,读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。

最后,还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为 0”吗?显然,要想让磁场的环量为 0,那就只能既没有电流(方程 (4) 中的第一项),也没有变化的电通量(第二项),那么磁场只能为 0。换言之,任何磁场都不是保守力场。想让电场的通量为 0 还比较简单,

只需要令磁通量不变(方程 (2))就好了。换言之,只有在静电学(电磁场均静止不变)中,静电场才是保守力场。

7. 向量微分
麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象,从每个方程的名字也可以看出,方程组总结、整合了前人(库仑、高斯、安培、法拉第等)发现的各种现象和其方程(在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个),而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起,用短短四个公式涵盖了所有现象,非常了不起。然而平心而论,积分形式仍然显得颇为繁琐,
原因有二:
1. 积分是很难算的,虽然每一个方程的左右两边都必然相等,但随便给你一个场和一个曲面 / 曲线,想把左侧的积分算出来极为困难;
2. 也正因为如此,我们尽管有可以描述电磁场的方程,但给定一个特定的来源(比如天线中一个来回摇摆的电荷),我们想算出具体的 E 和 B 也是极为困难,因为我们只知道 E 和 B 在某个特殊曲面 / 曲线上的积分。

这就是微分形式的好处。首先,计算一个给定向量场的微分(散度和旋度)是很简单的,只要使用之前提到过的 ∇ · 和 ∇ × 算符就好,而这两个算符都有一套固定的算法。其次,散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度,有着非常直接的几何意义,从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然,我们又需要再准备一些向量微积分的知识,其中的重点就是散度和旋度。

散度 divergence,顾名思义,是指一个向量场发散的程度。一个向量场 F 的散度是一个标量场(向量场的每一点有一个自己的散度),写作 ∇ · F(这个写法也很直白,因为点乘就是标量)。如果一个点的散度为正,那么在这一点上 F 有向外发散的趋势;如果为负,那么在这一点上 F 有向内收敛的趋势。

旋度 curl 则指一个向量场旋转的程度。一个向量场 F 的旋度是一个向量场(向量场的每一点有一个自己的旋度,而且是一个向量;这是因为旋转的方向需要标明出来),写作 ∇ × F(这个写法也很直白,因为叉乘就是向量)。如果一个点的旋度不为 0,那么在这一点上 F 有漩涡的趋势,而这个旋度的方向表明了旋转的方向。

举些例子,以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散,但完全没有旋转扭曲的趋势;第二个向量场形成了一个标准的漩涡,但没有任何箭头在往外或往里指,没有发散或收敛的趋势。(显然这两个图都是用字符直接画的;大家凑合着看,有空我再搞张好看点的图)

散度不为 0、但旋度为 0 的向量场:
↖ ↑ ↗
← · →
↙ ↓ ↘

旋度不为 0、但散度为 0 的向量场:

↗ → ↘
↑ · ↓
↖ ← ↙
因此,如你所见,散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度,我们就可以唯一确定这个向量场本身(这是亥姆霍兹定理,我要是有兴致可以以后简单谈谈)。

麦克斯韦方程组的微分形式,就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到,微分形式和积分形式是完全等价的,我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式,用的是高斯定理(不要和高斯定律混淆、又叫散度定理)和斯托克斯定理。

高斯定理 Gauss's Theorem:一个向量场 F 在闭合曲面 ∂V 上的通量,等于该曲面包裹住的体积 V 里的 F 全部的散度(F 的散度的体积积分)。这是可以想象的,毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了,也就是总共的散度(散度的积分)。

斯托克斯定理 Stokes' Theorem:一个向量场 F 在闭合曲线 ∂S 上的环量,等于该曲线环住的曲面 S 上的 F 全部的旋度(F 的旋度的曲面积分)。这也是可以想象的,毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样(有多少场在沿着这个环旋转),也就是总共的旋度(旋度的积分)。

总结如下表:

8. 麦克斯韦方程组的微分形式

了解了散度和旋度的概念之后,我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。

(1)、高斯定律:电场 E 的散度,等于在该点的电荷密度 ρ(乘上系数 1/ε0);

(2)、法拉第定律:电场 E 的旋度,等于在该点的磁场 B 的变化率(乘上系数 -1);

(3)、高斯磁定律:磁场 B 的散度,等于 0;

(4)、安培麦克斯韦定律:磁场 B 的旋度,等于在该点的电流密度 J(乘上系数 μ0),加上在该点的电场 E 的变化率(乘上系数 μ0ε0)。

我们可以看出,电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的:电荷的作用是给电场贡献一些散度,而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的,都是给对方贡献一些旋度。

想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举,因为微分形式主要是让计算更加简便,在数学上比较有优势,而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过,至少静电磁场的例子还是可以举的。比如,我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷,这正是在说电场的散度在正电荷处为正,在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流,而不会进入或发源于电流,这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。

9. 电磁波
我刚刚提到,微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便,我现在就给一个例子,也就是著名的光速。想象我们在真空中,周围什么都没有。这个时候,显然电荷密度和电流密度均为 0,所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了:

这四个公式简直太对称了!而且它们的含义也很清晰,基本就是说,变化的电场产生磁场,而变化的磁场产生电场。这就是电磁波 electromagnetic wave 的方程,电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。

想要具体解出这个方程的解,还是需要玩儿一会儿微积分的,但是我们注意到两个式子分别有系数 -1 和 μ0ε0。如果你了解波动方程的话,从这两个系数就可以算出这个波传播的速度,为

然而!μ0 和 ε0 这两个常数是真空的性质(分别叫做

真空电导率 vacuum
permittivity 和真空磁导率 vacuum permeability),是个定值。换句话说,电磁波传播的速度(光速)也是一个定值!也就是说,在任何参考系里观察,光速都应该是一样的 c!这根据伽利略速度相加原理是不可能的(静止的你认为火车的速度是 50 m/s,那么如果你以 1 m/s 的速度往前走你就会认为火车的速度只有 49 m/s,显然不会仍然是 50 m/s),但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐,这就是相对论的由来了。

10. 方向性

可能有同学已经发现,我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候,出现了各种左手、右手定则(插一句,请一定一定忘掉左手定则,使用左手简直反人类,在正统的向量微积分和电磁学里只有右手定则)。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中,我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗?

答案是肯定的。方向或者说手性(为什么是“右手”定则而不是“左手”定则?)来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘 u×v 是一个向量,指的方向是垂直于 u 和 v 的方向;但显然有两个不同的方向均满足这个条件,而我们选择了其中特定的一个,把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地,一个曲面 S 也有两个方向(即其微分元素 da 是向量)。注意到曲线积分也是有方向性的(即其微分元素 dl也是向量),因此我们把 S 的 da 和 ∂S 的 dl 联系起来,这个联系的规则也叫做“右手定则”。

上面这些情况中,选择“右手”是非常随意的;原则上我也可以全部选择左手,那么我得到的数学体系和原来的是完全等价的。当然,磁场 B 会和原来的磁场指的方向完全相反,但是没有关系,因为我们又不能直接看到磁场,所有的定律的手性都变了之后,描述的物理是不变的。但是,选择右手是约定俗成的,也就没必要再纠结为什么了。

11. 梯度、二次导数
我在之前说到保守力场的时候,偷偷塞进来过这样一个式子:F=-∇V。这里F是个向量场,V是个标量场。我们看到,这个神奇的倒三角不但可以表示散度(把向量变成标量)和旋度(把向量变成向量),还可以这样把一个标量场变成一个向量场!数学上这个倒三角叫Nabla算符,而∇V叫做一个标量场V的梯度。

什么叫做梯度呢?其实相比于散度和旋度,这应该是更加熟悉的概念。梯度gradient就是一个标量场变化的程度。我们可以把一个标量场想象成一个山坡,每一点的梯度是一个向量,指的方向是上坡的方向,大小则是坡的陡峭程度。

总结一下我们见到的三种向量微分吧:

于是从F=-∇V这个公式我们看到,保守力场(比如引力场)可以表示为某个标量场(比如引力势能)的梯度。之前说过,保守力场的环量/旋度一定为0。这也就是说,梯度的旋度一定为0。这是可以想象的,梯度指的是上坡的方向,而如果它有旋度,就意味着它们的指向可以形成的一个环,在这个环上可以一直上坡。这就像彭罗斯楼梯,是不可能的情形。

还有一个类似的定理,是说旋度的散度一定为0。我们也来想一下几何上这意味着什么。如果旋度有散度,就意味着在某个球上散度都在往球外指,也就意味着在球上每个点这个场都是逆时针旋转的。想想也知道这是不可能的。所以我们得到了两个重要的结论:
1. 任意标量场V的梯度∇V都是没有旋度的,也就是∇×(∇V)=0;
2. 任意向量场F的旋度∇×F都是没有散度的,也就是∇·(∇×F)=0。

我说过,这些“X度”都可以认为是场的一种微分,那么这些“X度的X度”就可以认为是二次导数了。我们看到,有两种二次导数都自动为0,不必我们深究。还有一种二次导数也很有名,也就是梯度的散度,它甚至有了一个专门的花哨的名字,叫“拉普拉斯算符”Laplacian。在此我不作展开,大家只要知道它挺重要的就行。

12. 电荷守恒
从麦克斯韦方程组中可以直接推出电荷守恒。这个推导十分简单,且颇为有趣,可以让大家看到向量微积分的方便之处,我就简要写一下:

首先我们有安培-麦克斯韦定律:

两边同时取散度:

注意到左边是磁场的旋度的散度,而旋度的散度一定为0,故左边为0。右边交换散度和时间导数,并约掉μ0,得:

使用高斯定律:

代入原式,约掉ε0,得:

这个就是电荷守恒的公式。用语言说,就是电流密度的散度加上电荷密度的变化率一定为0。如果这比较抽象,我们可以对两项同时体积积分,再对J那项使用高斯定律变成面积积分,则结论变成:
一块体积V内的电荷的变化率加上通过表面∂V的电流一定为0。

举个栗子,如果一块体积内的电荷Q变少了,其变化率为负,根据上述结论,通过表面的电流一定为正,也就是说有电流从这块体积内流出去了。这就是非常明显的电荷守恒了,给出了电荷和电流的关系,这个公式也叫“连续性方程”continuity equation。连续性方程在流体力学里十分重要,甚至在量子力学里的概率也遵守这个方程(电荷->概率,电流->概率流)。

S1. 附录:省略掉的各种公式和定义

库仑定律:

毕奥-萨伐尔定律:

Nabla算符:

梯度:

散度:

旋度:

高斯定理:

斯托克斯定理:

真空中的电磁波:

附:关于麦克斯韦电磁方程的动画视频讲解

著作权归作者所有
作者:孙研

-End-

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