计算区域和控制方程的离散化方法

2017-01-16 by:CAE仿真在线来源:互联网

首先说一下CFD的基本思想:把原来在时间域及空间域上连续的物理量的场,如速度场,压力场等,用一系列有限个离散点上的变量值的集合来代替,通过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组,然后求解代数方程组获得场变量的近似值。

然后,我们再讨论下这些题目。

离散化的目的: 我们知道描述流体流动及传热等物理问题的基本方程为偏微分方程,想要得它们的解析解或者近似解析解,在绝大多数情况下都是非常困难的,甚至是不可能的,就拿我们熟知的Navier-Stokes方程来说,现在能得到的解析的特解也就70个左右;但为了对这些问题进行研究,我们可以借助于我们已经相当成熟的代数方程组求解方法,因此,离散化的目的简而言之,就是将连续的偏微分方程组及其定解条件按照某种方法遵循特定的规则在计算区域的离散网格上转化为代数方程组,以得到连续系统的离散数值逼近解。

计算区域的离散及通常使用的网格: 在对控制方程进行离散之前,我们需要选择与控制方程离散方法相适应的计算区域离散方法。网格是离散的基础,网格节点是离散化的物理量的存储位置,网格在离散过程中起着关键的作用。网格的形式和密度等,对数值计算结果有着重要的影响。一般情况下,二维问题,有三角形单元和四边形,三位问题中,有四面体,六面体,棱锥体,楔形体及多面体单元。网格按照常用的分类方法可以分为:结构网格,非结构网格,混合网格;也可以分为:单块网格,分块网格,重叠网格;等等。上面提到的计算区域的离散方法要考虑到控制方程的离散方法,比如说:有限差分法只能使用结构网格,有限元和有限体积法可以使用结构网格也可以使用非结构网格。

控制方程的离散及其方法:上面已经提到了离散化的目的,控制方程的离散就是将主控的偏微分方程组在计算网格上按照特定的方法离散成代数方程组,用以进行数值计算。按照应变量在计算网格节点之间的分布假设及推到离散方程的方法不同,控制方程的离散方法主要有:有限差分法,有限元法,有限体积法,边界元法,谱方法等等。这里主要介绍最常用的有限差分法,有限元法及有限体积法。(1)有限差分法(Finite Difference Method,简称FDM)是数值方法中最经典的方法。它是将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域,然后将偏微分方程(控制方程)的导数用差商代替,推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。求差分方程组(代数方程组)的解,就是微分方程定解问题的数值近似解,这是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法。这种方法发展较早,比较成熟,较多用于求解双曲型和抛物型问题(发展型问题)。用它求解边界条件复杂,尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。(2)有限元法(Finite Element Method,简称FEM)与有限差分法都是广泛应用的流体力学数值计算方法。有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元,并于各小单元分片构造插值函数,然后根据极值原理(变分或加权余量法),将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程,把总体的极值作为个单元极值之和,即将局部单元总体合成,形成嵌入了指定边界条件的代数方程组,求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。有限元法的基础是极值原理和划分插值,它吸收了有限差分法中离散处理的内核,又采用了变分计算中选择逼近函数并对区域积分的合理方法,是这两类方法相互结合,取长补短发展的结果。它具有广泛的适应性,特别适用于几何及物理条件比较复杂的问题,而且便于程序的标准化。对椭圆型问题(平衡态问题)有更好的适应性。有限元法因求解速度较有限差分法和有限体积法满,因此,在商用CFD软件中应用并不普遍,目前的商用CFD软件中,FIDAP采用的是有限元法。而有限元法目前在固体力学分析中占绝对比例,几乎所有的固体力学分析软件都是采用有限元法。(3)有限体积法(Finite Volume Method,简称FVM)是近年发展非常迅速的一种离散化方法,其特点是计算效率高。目前在CFD领域得到了广泛的应用。其基本思路是:将计算区域划分为网格,并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积;将待解的微分方程(控制方程)对每一个控制体积分,从而得到一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量,为了求出控制体的积分,必须假定因变量值在网格点之间的变化规律。从积分区域的选取方法看来,有限体积法属于加权余量法中的子域法,从未知解的近似方法看来,有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之,子域法加离散,就是有限体积法的基本方法。

各种离散化方法的区别:简短而言,有限元法,将物理量存储在真实的网格节点上,将单元看成由周边节点及型函数构成的统一体;有限体积法往往是将物理量存储在网格单元的中心点上,而将单元看成围绕中心点的控制体积,或者在真实网格节点上定义和存储物理量,而在节点周围构造控制体。

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