流体N-S方程的剖析

2017-05-05 by:CAE仿真在线来源:互联网

普通的力学平衡问题我们可以通过一张简单的受力平衡示意图来理解其受力平衡,但是对于N-S方程,无法想象出这种示意图。比如下公式的几项,怎么在图上表示呢?

补画了一张流体微元的受力分析图。

如果只分析x方向上的,是不是上面的式子的重力项就为0?如果要加入其它的力,是不是也只需求它们在x方向上面的分力?

要回答以上问题,得先一步一步了解下面的流体知识:

1. 欧氏描述 v.s 拉氏描述。

作为学习传统流体力学的人,有一个必需知道的常识,那就是当描述流体流动时,我们采用的是欧拉描述。与其对应的是在固体力学中使用的拉格朗日描述。
通俗的说,拉氏描述关注对象是物体,比如高中物理中的的神物-----斜坡上的小木块。而欧氏描述的对象是场,是空间位置,这个就比较抽象了,形象地说就是你研究一根水柱,你看到的其实是一个水柱形状的空间。当水流动时,这根水柱里的水(一群连续的质点)每时每刻都是不同的,但是空间是固定的(水柱状)。传统牛顿三定律都是拉氏描述,而且拉氏描述下的牛顿定律在低速条件下是普适的。

为什么会出现这两种不同的描述呢?
传统固体力学的对象是固体,方法是线性的。线性固体力学的对象是一群位置相对不变的连续质点,外部力向内部传递的方式是相对固定的(这是线性固体力学的小形变假设,没有这个假设,非线性固体力学和流体力学本质上是一样的),所以受力分析相对简单。也就是说,整个计算过程,我们关注的是某一个或者某一群质点,从头到尾我们都是在分析这群质点的受力。
而流体力学无法这样分析,因为流体的形变是很大的,当你对一坨流体做受力分析,实在太复杂。而且当你对不同形状的流体做受力分析,外部力向内部的传递方式是不一样的。因此,欧拉描述就有了大作用:与其关注一群质点,我关心的是一个固定的空间(控制体),不同的质点可以进出这个控制体,但是质量守恒与动量、能量平衡在控制体内必须得到满足:流经这个控制体的流体,在期间收到多少力,动量就改变多少;收到多少功、热量,能量就改变多少;而流进流出的流体质量必须守恒。换言之,此时,不关心某一个特定的质点了,而是关心的是在某个时间点,位于某个目标位置的质点。质点A这一刻在的目标位置,研究它,下一刻它流到了一个不关心的位置,而质点B流了进来,那就研究质点B。受力分析无法运作了,因为你研究的质点时刻在变。

这就可以解释,为什么流体力学中没有Freebody Diagram (受力分析)这种东西?对于质点的受力分析是拉氏描述特有的,欧氏描述不具备这样的特征。因为拉氏描述关注的是物体 (质点),欧氏描述关注的是空间 (控制体)。你的目标质点时刻在变,而你对空间本身做受力分析是木有意义的。

那这两种描述的优劣及其联系是什么呢?从连续体力学和张量分析的角度,这两者是互通的。根据研究对象要求随时变换使用。在上面内容也说到了,小形变或者无形变时,比如静止液体、等液面分析,拉氏描述是更占优的,因为它避开了NS方程中随流项带来的非线性从而使问题线性化(后面会介绍),解决了解的存在性和唯一性问题。但是,对于做航空发动机进气道内流的,几百米每秒的速度流动,用拉氏描述分析问题,臣妾做不到啊。所以,具体问题具体分析,两者一样好,都是棒棒哒!另外,高校流体力学的教材中,对欧氏描述介绍比较多,因为拉氏描述大家从高中就知道。

2. 雷诺输运定理。

提到欧氏与拉氏描述,就必须要讲雷诺输运定理。简单地说,雷诺输运定理是连接拉氏描述与欧氏描述的桥梁。

直接摆公式:

等号左边是物质导数,拉氏描述。而等号右边,就是典型的控制体分析。用通俗的语言来说,就是:物理量m的变化量=控制体内物理量m的当地变化量 + 物理量m流入/流出控制体的量。很多人不理解为什么左边的d/dt项要在积分外而等号右边的d/dt(偏微分)项要在等号内。这其实也是拉氏与欧氏描述的差异与精髓所在。搞清这点,才算之真的对两种描述有了一定的认识。

正如之前所说,拉氏描述关注质点,那么等号左边的时间导数是针对某些特定的质点而言的,那么当时间变化,这些质点移动后,他们所在的位置是改变的,换言之,由这些质点组成的空间

也是随时间改变的。所以,将时间导数放在积分号外,是因为拉氏描述下,对象空间也是随时间改变的,时间导数需要将空间的变化也考虑进去。而等号右边的时间导数,因为是欧氏描述,目标空间(控制体)固定, 所以空间不是时间的函数, 于是时间导数符合就放在了积分号的里面。

雷诺输运定理的重要性体现在其桥梁作用以及在欧氏描述下的普适性。传统流体力学的NS方程就是由雷诺输运定理结合牛顿三定律与质能守恒律推导出来的。

3. NS方程。

鉴于篇幅,只推导动量方程了,质量与能量方程请大家自己看教科书。

在之前说过,欧氏描述下的控制体分析,精髓在于流量守恒。对于一个固定的控制体,以质量为例,在没有源的前提下,流进和流出控制体的质量,必须是相等的。类似的还有动量与能量的平衡。

但是,数学描述是怎样的呢?在开头介绍欧氏与拉氏描述是,提到过一点,牛顿三定律是拉氏描述,而且牛顿定律是低速下普适的。任何其他动量方程必须以满足牛顿三定律为前提。所以,以动量方程为例,推导就应该从牛顿定律开始,也就是:

考虑到流体不是一个质点,而是一个连续体,所以:

其实

表示单位体积的力。到这里,我没有使用任何欧氏描述,一切都是拉氏描述,没有任何变换。接下来,就要引入欧氏描述了。等号的左边是不是特别眼熟?雷诺输运定理:

利用高数里的高斯散度定理,上述方程的第三项流量项可替换为散度的体积积分,于是:

第二项内的两点表示张量积。这不是重点,重点在于,整个方程变成了一个关于V的积分方程。因为控制体的选择是任意的,所以上述等式满足的必要条件是:

等号左边的项,是一个三维矢量,其x方向的投影就是题主在问题描述中的x方向动量方程的等号左边部分。

我已经提到过,NS方程本身就是一个针对牛顿流体的模型。原因在于,牛顿流体的应力是与其应变率成正比的:

其中

就是应变率矩阵,其元素定义如下:

而

是一个3x3x3x3的张量,但是因为我们的理论学习多假设各项同性和泊松效应,所以就简化成一个3x3的矩阵了,其性质类似弹簧的刚度系数或者材料力学中的材料的剪切系数、泊松比之类的,总而言之,就是一系列与流体本身性质相关的常数。再根据:

另外,如果在考虑重力,结合上述,一项一项代入,你看到的就是完整的NS方程组。

4、关于NS方程组形象的物理意义。

上面的推导,基本上把NS方程基本的物理意义介绍了一遍。而题主要形象地介绍NS方程,从以下几个点再补充一些:

1)随流项。

NS方程组的至今无解的原因,是因为方程本身是非线性的。而非线性的源头就是等号左边的第二项,即:

众所周知,对于非线性偏微分方程,除了少数极简单的方程外,普遍意义上来说还没找到有效的普适的求解析解的方式。而且NS方程组的本身还是二阶非线性的,而且还是方程组,这就更无解了。

虽然无解,但是随流项的物理意义却非常重要:它表征了流体中物理量在空间中的信息传递。

首先,随流项是在拉氏描述向欧氏描述转换时产生的,这说明随流项是欧氏特有的。拉氏没有这样的非线性项。那么回到欧氏描述。欧氏描述的特征是目标空间。在欧拉描述下,研究对象时正好位于目标空间的物质。举个不恰当的例子,一帮运动员绕着田径场跑长跑。而我研究他们的速度,我盯着的是200米处这个位置,任何经过这个位置的人,我都记下他/她的速度。这是欧氏的描述方式。那么随流项在欧氏描述下起到的作用是什么呢?正如我之前所说,信息传递。

还是这群长跑的运动员,我想知道其中某个运动员在300米处时的速度,我知道运动员的速度随着距离的增加而减小的规律,同时知道他们在200米处的速度,那么300米处的速度怎么求?不就是200米处的速度+300米处到200米处的速度变化吗?写成数学公式:

如果每个运动员经过200米处的速度随时间变化:

是不是就是随流项?

通俗地说:

i)随流项是欧氏与拉氏描述在微分下互相转换的桥梁(雷诺输运定理是积分下的桥梁);

ii)随流项描述了某个质点原始所具备的物理量随流体流动方向的传播方式。

iii) 流体中任意一个质点的物理量,不仅与它当前的状态有关,也与它之前的状态相关,两者之间的连系方式就是随流项。

的应用范围。

一句话:

本身是没有限制的,如果你研究的流体有自己的特性,那么等号右边的

项会有不同的表达方式,但是大体的推导过程和上面没啥差别。

总结:

想起hydrodynamics老师上课时候说过一句话,看一个公式大概长什么样是没用的,一定要自己拿起纸笔一步一步推导一遍。NS方程就是最好不过的例子。

理解NS方程需要这几个方面:
1,理解拉格朗日和欧拉体系的不同以及从中推导的material derivative的关系;
2, 理解mass conservation & momentum conservation; 后者就是牛顿第二定律;
3, 理解流体与固体本质不同的本构方程;
4,最后加上newton fluid的假设,和一些纯数学的推导。

最后结合文章开始的图,如果能完全理解control volumn的方法的话,这些关系就很容易理清了。

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