无风不起浪——谈谈波浪是如何由风引起的

2017-05-04 by:CAE仿真在线来源:互联网

注:文中为了简单定量地说明具有微小扰动的液面,在风的作用下会起波浪,引进了少量简化计算,如果对这部分没有兴趣,可以跳过,直接看得到的结论就可以了。

俗话说“无风不起浪”。是说风在水面上拂过才引起水面的波浪。所以南唐冯延巳有词说:“风乍起,吹皱一池春水”。南唐冯延巳的词是说的微风的情形,而且风是“乍起”,即风吹的时间不很长,所以只是把水面吹皱。如果风速很大,风吹的延续时间又很长,还能够在江河湖海里掀起惊涛骇浪、翻江倒海。有纪录显示,台风引起的海浪起伏高度竟可达32米。大约有10层楼高!

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图1 风乍起,吹皱一池春水

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图2 惊涛骇浪

从人们的直觉来看,似乎是由于风吹过水面时空气与水面的摩擦力把水带动引起的波浪。其实,没有那样简单。因为要是那样的话,既然风与水之间的摩擦力,作用在水平面上,总是水平地沿着水平面并指向风吹的方向的,所以风的作用只能带动表面的水随着风的方向流动,而不会掀起那样垂直于水面起伏的波浪。所以实际情况和这种直觉并不符合。那么,水到底是怎样掀起波浪的呢?

这个问题有许多人进行过研究,有的主要考虑风对水面的法向应力[3],当然也有的主要考虑切向应力[4]。还有的用数值方法来求解。迄今也很难说有一个公认的结论。

我们这里利用比较简单的力学模型来进行定性的讨论。

先来看一种情形,如图设粗线代表已经有一个波浪的水面。风是从左边吹来的。设想与水面有一定距离的地方,在虚线所画的那个高度上风速已经是均匀的了。并且设想风是吹过由水面与虚线组成的洞体的。显然,水面高处A,洞体的截面比起水面低处B的截面要小,所以A处的风速要比B处的风速大。

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图3 风与水面作用的示意图

流体力学中有一个很重要的定律,就是伯努利定律。这个定律说,在一条流线上,流体质点的速度与在这点的压强成反比。也就是速度愈大压强愈小。更具体地说是沿着一根流线,我们设流体质点的速度为v密度为ρ,这点的压强为p,它们之间有关系

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从这个定律可以看出,流体速度大的地方,压强要小,速度小的地方压强要大。也就是一般地可以说,既然在水面高处风的流速比低处大,那么在水面高处相对于平均压强来说是负值,而水面低处取正值。

这就是说,在有风的情况下,只要是水面有了起伏,水面高的地方受一个向上的吸力,而低的地方受一个向下的压力。

在没有风,也没有别的扰动的情形下,水面的自然平衡状态是水平的。如果有一个扰动,使水面的一个地方鼓起来了,像下图,中心滴进一滴水。这时,在重力作用下,鼓起的地方就要向下运动,当鼓起的地方达到水平面时,由于向下运动的惯性,那些质点还会继续向下运动,直到把原来鼓起来的地方向下形成一个坑。这地方形成了坑,原来这地方的水质点便会被挤到四周,使得四周高起来。这时,四周高起来的地方又在重力作用下回落,又要形成一圈环状的坑,原来坑的地方又会向上运动鼓起来。就是说,原来鼓起来的地方的水质点,会不断上下运动,而周围便形成波,一圈一圈往外传。随着波的运动能量往外传,再加水内部的粘性,运动的振幅逐渐衰减下来趋于平静,水面又回复水平的平衡状态。

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图4 水滴引起的波浪

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图5 波浪起伏时流体质点的运动

图5表示在小振幅的波浪,或者说在线性化表面波理论之下,液体质点的运动轨迹。它们都在沿着一个近似圆的轨迹运动。在质点处于液体愈深则圆半径愈小,切逐渐变为椭圆。

现在,我们考虑平静的水平面上有风吹来。从前面讨论,我们看出,只要水面有任何的轻微扰动,亦即当水平面有任何一点小的高低不平,于是高的地方就受一个向上的吸力,低的地方就受一个向下的压力。水面的任何地方都在上下运动,随着上下运动,同一个地方一会凸起,一会凹下去,凸起来,风就向上吸,凹下去风就向下压。不过,由于凸面不管是在上升还是下降都向上吸,凹面也是不管是上升还是下降都是向下压,所以这种情况下并不会有能量输入。水面的波动也不能够保持。

现在我们要问,当水面经过微小的扰动凸起来后,怎样的风速能够使这个凸起维持?显然,如果风速比能够维持水面凸起略微大一点,因为凸起的地方受风的作用向上吸,凹面受风的作用向下压,波浪就会维持和继续升高。为此,我们做下面的简单估算:

考虑图3上的A点,大气的密度为ρ,风速为v;我们还由小振幅重力波理论知道,水面上A点的运动轨迹是一个以R为半径的圆,不妨设这个质点的运动周期为T,我们知道水的密度是1000 kg/m³,重力加速度为g,A点的速度是2πR/T显然质点A所受惯性力和风力与重力相平衡的条件,即风对A点向上吸力加上A点做圆周运动的向上的惯性力应当和A点所受的重力相平衡,这就是:

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密度用ρ=1.29kg/m³代入,近似用g=10m/s²,π²=10代入,就近似得到。

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由于式中左边为正,所以右端必须有R/T<0.25,即R<0.25T,否则在无风的条件下,A处的质点会自动跳离水面,这当然是不可能的。在实际情况,水面的微小扰动,可以有不同的R和不同的T,这对应于不同的波长与周期。于是可以看出,当R/T与0.25很接近时,很小的风速就能够使微扰动的水面凸起不再下落。

上面我们是对于水面上一个质点微小扰动后所受的重力、风力和惯性力来讨论,他被风“掀起”的条件。现在我们换一个角度来讨论风压对这个被扰动后的液面所做的功。

设在传播中的波面的表达式为:

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其中y是波表面质点相对于水平面的高度,T是周期,l是波长,A是波幅。

我们知道,力乘物体的速度,就是力做功的功率。现在我们来考虑空气压力作用在行波面上做功的功率。为此,我们计算上下运动的速度:

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其中u=dx/dt,是波传播速度。

现在考虑作用在波面上的压强。我们前面讨论过,风压的分布是随液面的起伏不同,扣除平均大气压力,在波面高处,有向上的吸力,在低处有向下的压力。在实际情形下,压强的最大处并不是出于如图3波面的最高处,而是略微偏右一点,也就是略微偏向波面最高点的背风面。这种情况就使压强的表达式有一个小的位相偏移量δ,即:

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为简单计,令α=x/l-t/T,于是在一个振荡周期中,风压对波面所做的功率在一个振荡周期上的积分为:

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积分是从0到T。

由于

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把它代入上式,经过简化和积分就得到:

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由于积分前面的系数都是正的,被积函数又是平方项,显然这是一个正值的积分。就是说,风压对波面不断做正功。也就是说,只要是有风,它就会不断向有微小扰动的液面输入功,从而增加液体的动能。这就是只要风不断吹,波浪就会不断升高的道理。

综合以上的讨论我们看到,在用前面的式子求出的风速的条件下,水平的水面平衡是不稳定的。就是说风速的任何增加都会使水面离水平面越来越远。这就是为什么,风一吹,水面就起波浪,也就是“风咋起,吹皱一池春水”的道理。

不过又会产生一个问题,既然有风持续吹,波浪就会越来越高,是不是就会无限高下去呢?不会的,我们知道波浪往远处传就相当于把能量传播出去,另外水的粘性也会消耗一部分能量,这样,当风输入的能量和波传播以及水的粘性消耗的能量平衡时,即使风继续吹,波浪也不会再高上去,而会维持在一个高度上。一般说来风速越大持续的时间越长浪越高。下面这张表,就是一张在风吹的条件下风速和海浪高度的对照表。它对于航海的人和渔民还是很有参考意义的。因为从气象台知道了预报的风速,就能够大致估计出浪高,就会估计是不是适宜出海。

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在图3上,我们看到的情形是在水面有起伏时,水面上的空气流动还是贴着水面流动的,也就是说空气的流动还没有产生漩涡。实际上,在波浪的形成的水面背风面陡度增加到一定程度,在浪的背风处就会有风的漩涡产生。如图5我们看到在波浪背风的地方产生了风的漩涡。我们知道漩涡中心的压强很小,所以那里的吸力更大。这就说明当波浪高到一定程度,波浪的形状便会是顺风的一侧更高。这种压差,一方面使波浪顺着风吹的方向前进,这就表现为行波,即波的高度不变,但它的波峰以一定的速度顺风前进;另一方面背风涡的压差使得波的形状愈来愈不对称,即背风面愈来愈陡,这种趋势不断发展下去波浪就会破碎产生如图7那样的效果。在实际中就会出现浪花、波浪倒卷、波浪翻滚、惊涛骇浪的情况。

最后,回过头来说一说风和水面的摩擦力的问题。我们看到风引起的波浪起伏主要是由于风引起水面压强变化。原因是风与水面的摩擦力很小,是因为空气和水之间的黏性系数很小,只占次要的位置,所以在讨论风引起的波浪时可以忽略不计。

还应当指出的是,如果有两种比重不同的流体,而且上面比重小的那一层在以一定的速度流动,两层流体之间也会有波动。这和风与水波的情形是类似的。在具有泥沙的水库放水时就有这种情形,这时,比重大的泥浆在下面,上面含泥沙较少的水流动,就会激起下面泥浆的波动。如果控制得好,就会把水库里的泥沙带走,使水库的泥沙沉积减缓。这就是平常说的异重流的问题。

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图6 波浪中背风的漩涡

图中带箭头的线表示风的流动方向,黑箭头表示水质点运动方向,+、-号表示该处压强与平均压强为正还是为负。

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图7 波浪破碎

所以,我们可以做结论说,风引起波浪主要是由压强变化而不是由摩擦力引起的。

参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave
王振东,风乍起,吹皱一池春水——谈流体运动的不稳定性,《力学诗趣》p.43-48(王振东、武际可著,湖北科学技术出版社,2013)
Phillips,O. M. (1957), "On the generation of waves by turbulent wind", Journalof Fluid Mechanics 2 (5): 417–445, Bibcode: 1957JFM.....2..417P, doi:10.1017 / S0022112057000233
Miles, J. W. (1957), "On the generation ofsurface waves by shear flows", Journal of Fluid Mechanics 3 (2): 185–204, Bibcode: 1957JFM.....3..185M, doi:10.1017 / S0022112057000567