搜索一阶迎风格式vs二阶迎风格式：两者的精度差别有多大？
2017-08-15 by:CAE仿真在线 来源:互联网
FLUENT提供了好几种空间离散格式,最常用的有“一阶迎风格式”(First Order Upwind)和“二阶迎风格式”(Second Order Upwind)。很多资料上都介绍二阶迎风格式的精度比一阶迎风格式高,但是,二阶迎风格式的计算精度究竟比一阶迎风格式高多少呢?
我们来看一个算例。这是经典的二维方腔顶盖驱动流动(图1)。计算域是一个正方形,边长是a;上边界是移动壁面,以速度U向左运动;其余三个边界是固定壁面。正方形的内部充满流体,其密度为ρ,粘性系数为μ。流动雷诺数定义为Re=ρUa/μ。这里计算雷诺数Re=1000的情形,流态为层流。
图1二维方腔顶盖驱动流动
分别使用四种密度的网格进行计算:32×32、64×64、128×128以及256×256。(图2)每种网格分别使用一阶迎风格式和二阶迎风格式计算。
(a) 32×32
(b) 64×64
(c) 128×128
(d) 256×256
图2网格
为了避免收敛标准的设定对计算结果的影响,计算时将收敛准则(Convergence Criterion)设为“none”并一直算到残差不再下降为止,这样收敛精度就由机器精度决定。(图3)我们采用双精度求解器,其机器精度大约有16位有效数字,因此收敛精度极其高,可以认为收敛误差对计算结果没有影响,或者说计算结果的误差都是由离散格式的误差导致的。
图3 ConvergenceCriterion
流动的基本物理图画如图4的流线所示。由于顶盖的驱动作用,方腔内形成了一个大旋涡。另外,在左下角和右下角各存在一个较小的二次漩涡。
图4流线(复制自[2])
我们使用文献[1]、[2]的高精度数值解作为参考基准。文献[1]的结果是使用二阶精度的涡量—流函数方法再加上Richardson外推方法获得的,文献[2]则使用了谱方法;两者的计算结果吻合,其精度大约为7位有效数字。文献[1]给出了散布在正方形内的115个点处的速度值。我们将FLUENT算出的这115个点的速度的水平分量和文献[1]的结果相减,得到115个误差值e1, e2, e3,…, e115,然后分别用两种方法来衡量整体的误差;第一种是使用2-范数:
第二种是使用∞-范数:
即从115个误差值的绝对值里面找出的最大值。这两种方法是衡量算法的精度的常用方法。
FLUENT的整体计算误差的分析结果如表1所示。
表1 FLUENT的计算误差
(a)一阶迎风格式
(b)二阶迎风格式
可以看出,对于二阶迎风格式,当网格密度超过64×64之后,随着网格的加密呈现出的规律是,网格尺寸每变为原来的1/2,则计算误差变为原来的1/4。也就是说,其计算误差是正比于网格尺寸的平方的。对于这样的计算精度,我们称之为“二阶精度”。“二阶迎风格式”之所以称为“二阶”,就是因为它具有二阶精度。
而对于一阶迎风格式,网格尺寸每变为原来的1/2,计算误差也变为原来的1/2。也就是说,计算误差正比于网格尺寸的一次方。这样的计算精度称为“一阶精度”。由此看来,一阶迎风格式的精度比二阶迎风格式差很多。从误差的绝对大小也可以看出这一点:一阶迎风格式在256×256网格上的计算误差比二阶迎风格式在128×128网格上的误差还要大。
由于一阶迎风格式的精度比二阶迎风格式差很多,所以一阶迎风格式只是在刚开始计算的时候为了改善稳定性(防止计算发散)才用到的,而不应该用在最终的计算结果上。
事实上,由于一阶迎风格式的计算误差太大,结果往往不可靠,所以不少期刊已经明确地要求作者在对流动进行数值计算时,至少使用具有二阶精度的空间离散格式。例如,AIAA(美国航空航天协会)在其“Editorial Policy Statement on Numerical and Experimental Accuracy”中就对其出版的期刊有如下要求:
“Numerical methods for solving PDEs should be at least formally second-order accurate in space for spatially smooth solutions.”
(全文链接:https://www.aiaa.org/EditorialPolicyStatement/)
空间离散格式的精度可以用导函数的近似计算来理解。我们知道,描述流体运动的Navier-Stokes方程组里面含有很多空间导数,比如说方程组的对流项里面就含有速度对空间坐标的导数。在计算流体力学中,这些空间导数是用离散的网格点上的函数值来近似计算的。我们可以设想一个一元函数y=f(x),网格尺寸为h,如图5所示,
图5导函数的近似计算
如果我们采用x0和x0+h这两点上的函数值来近似计算x0处的导函数
(1)
其误差是多少呢?这可以通过泰勒级数展开分析出来。在x0处对f(x)做泰勒级数展开,可以得到
(2)
通过简单的推导可以得到
(3)
一般情况下,f(x)的二阶导数是不等于零的。所以,容易看出,使用式子(1)来近似计算导函数,其误差是正比于网格尺寸h的一次方的。这就是所谓的具有“一阶精度”的格式。如果我们需要更高的计算精度,可以使用更多的离散点,比如说计算x0处的导函数的时候,同时使用x0、x0+h以及x0+2h这三个点上的函数值,这样计算误差就正比于网格尺寸的平方,达到“二阶精度”。
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参考文献
[1] http://www.acenumerics.com/the-benchmarks.html
[2] O. Botella and R. Peyret. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow. Computers and fluids, 27 (1998)
[3] Odus R. Burggraf. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows. Journal of fluid mechanics, 24 (1966)
[4] Ann S. Almgren, John B.Bell, Phillip Colella, Louis H. Howell, and Michael L. Welcome. A Conservative Adaptive Projection Method for the Variable Density Incompressible Navier-Stokes Equations. Journal of computational physics, 142 (1998)
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