技术文章：矩阵的SVT分解 1

2017-03-24 by:CAE仿真在线来源:互联网

SVD是Singular Value Decomposition的英文缩写,即奇异值分解,听起来很高深,实际上就是一种将矩阵分解为几个矩阵乘积的一种技术,换句话说,就是用几个矩阵的乘积来拟合已知矩阵。

>> A=[4 4 5;4 5 5;3 3 2;4 5 4;4 4 4;3 5 4;4 4 3;2 4 4;5 5 5]

A =

4 4 5

4 5 5

3 3 2

4 5 4

4 4 4

3 5 4

4 4 3

2 4 4

5 5 5

>> [U,S,V]=svd(A)

U =

-0.3549 0.0891 0.6351 0.0242 -0.3937 0.2366 -0.0899 0.0312 -0.4921

-0.3842 0.1889 0.1027 -0.2271 0.0478 -0.5715 0.1054 -0.6410 0.0598

-0.2181 -0.3960 -0.2809 -0.4417 -0.1458 -0.2550 -0.5919 0.2276 -0.1822

-0.3568 -0.0756 -0.3300 0.8236 -0.0930 -0.1587 -0.1709 -0.0575 -0.1162

-0.3274 -0.1754 0.2024 0.0195 0.8759 0.1294 -0.0595 0.0958 -0.1551

-0.3318 0.3326 -0.4802 -0.2235 -0.0131 0.6394 -0.0832 -0.2872 -0.0164

-0.2999 -0.4399 -0.2304 -0.1342 -0.1418 0.0108 0.7562 0.1483 -0.1773

-0.2774 0.6410 -0.0981 -0.0747 0.0357 -0.2743 0.1160 0.6364 0.0446

-0.4092 -0.2192 0.2530 0.0243 -0.1551 0.1618 -0.0743 0.1198 0.8061

S =

21.1167 0 0

0 2.0140 0

0 0 1.4239

0 0 0

V =

-0.5277 -0.8221 0.2139

-0.6205 0.2010 -0.7580

-0.5801 0.5327 0.6161

我们来验证一下,看看U、S、V三个矩阵相乘是否等于A。

>> U*S*V

ans =

3.3181 6.6778 -1.1818

3.9606 6.8245 -1.9340

3.1568 3.4119 -0.6269

4.3424 5.9122 -1.7857

3.7000 5.7656 -1.0335

3.6780 5.5298 -2.4278

4.0818 4.8533 -0.8852

2.3711 5.0006 -2.3177

4.6250 7.2070 -1.2919

这是怎么回事呢?

答案是:要对V进行一下转置才行。

>> V'

ans =

-0.5277 -0.6205 -0.5801

-0.8221 0.2010 0.5327

0.2139 -0.7580 0.6161

>> U*S*V'

ans =

4.0000 4.0000 5.0000

4.0000 5.0000 5.0000

3.0000 3.0000 2.0000

4.0000 5.0000 4.0000

4.0000 4.0000 4.0000

3.0000 5.0000 4.0000

4.0000 4.0000 3.0000

2.0000 4.0000 4.0000

5.0000 5.0000 5.0000

这回就对了:A=U*S*V’。

S =

21.1167 0 0

0 2.0140 0

0 0 1.4239

0 0 0

3、U和V与自己的转置矩阵相乘等于单位矩阵,即对角线上的元素全为1的对角阵。

>> U*U'

ans =

1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000

>> V*V'

ans =

1.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 1.0000

用前面的例子验证一下。

其中:

u=U(:,1:3)表示截取矩阵U的前三列;

s=S(1:3,:)表示截取矩阵S的前三行。

>> A=[4 4 5;4 5 5;3 3 2;4 5 4;4 4 4;3 5 4;4 4 3;2 4 4;5 5 5];