阻尼基本理论及阻尼模型评价方法综述

阻尼是结构动力分析的基本参数,对结构动力分析结果的准确性有很大的影响。因此,从基本概念着手,分析阻尼产生原因以及从不同角度分类,得出建筑结构中动力分析常用的阻尼为瑞利阻尼;经过很多专家学者多年的研究,提出了多种阻尼模型,它们各有优缺点,文中介绍了一种统一的阻尼模型的定量评价方法,对于具体问题应采用合理的模型。

我们知道,若无外部能源,则任何原来振动的物理系统都会随着时间的增长趋于静止。这是因为系统的能量会因为某些原因而耗散。产生振动系统能量耗散的原因称为阻尼。任何现实的建筑结构系统都具有振动阻尼。阻尼是反映结构体系振动过程中能量耗散特征的参数。阻尼是结构动力分析的基本参数,对结构动力分析结果的准确性有很大的影响。

实际结构振动时耗能是多方面的,具体形式相当复杂。而且耗能不像构件尺寸、结构质量、刚度等物理量那样有明确的、直接的测量手段和相应的分析方法,使得阻尼问题难以采用精细的理论分析方法,而只能采用宏观总体表达的方法。结构振动时耗能因素较多,但影响程度有所不同。一般认为振动过程中耗能因素有如下几方面: (1)结构材料内摩擦(由桥梁振动时其建筑材料分子间的内摩擦力所形成) ;(2)连接处干摩擦或库伦阻尼(构件接触面或点的摩擦) ;(3)空气阻尼; (4)地基土内摩擦; ( 5)地基中波的辐射耗能(辐射阻尼) 。当结构体系进入弹塑性状态时,构件的塑性耗能将远大于上述各项耗能,一般分析中不将塑性耗能纳入阻尼耗能,而是单独加以表达,地基土产生塑性变形时亦将耗散较多的机械能,是否作为阻尼考虑则视情况不同而定。对于大多数桥梁结构而言,阻尼以考虑上部阻尼为主。

目前公认的结论是,以上部结构为主的结构体系具有在相当宽的频率范围内振型阻尼比不变的特征。而地下结构以及动力机械的大块式基础等的阻尼比则随振动频率的增加而增加,符合粘滞阻尼规律。上部结构阻尼耗能中,干摩擦耗能是最主要的部分。上部结构阻尼的实质是以连接及附属部分内部及其与主体结构间干摩擦耗能为主的耗能机制。阻尼耗能显然应与质量(反映附属部分大小)和刚度(反映位移大小)有关,也就是说干摩擦的摩擦系数应与质量和刚度均有关。

阻尼表达方法,主要分为两大类:粘滞阻尼和滞回阻尼(复阻尼) 。粘滞阻尼假定阻尼力与速度成正比,无论对简谐振动还是非简谐振动得到的振动方程均是线性方程,不仅求解方便,而且能够方便地表达阻尼对频率、共振等的影响,是应用最为广泛的阻尼模型。而且通过将阻尼系数与结构体系的质量、刚度相联系,可以方便地构造出具体的阻尼系数,是目前最常用的阻尼表达方法。滞回阻尼假定应力应变间存在着相位差,从而振动一周有耗能发生。已经提出的各种各样的滞回阻尼模型,其特点是可以得到不随频率改变的振型阻尼比,因而一般认为能较好地反映上部结构阻尼。但该模型在理论上只适用于简谐振动或有限频段内的振动分析。

多年来不少学者试图将其推广应用到更一般的动力响应,即推广为无限宽频带上的定常阻尼力,都遇到了有悖于物理事实的困难。按照本文对阻尼实质的分析,滞回阻尼模型显然不够合理,不能考虑附属部分耗能影响。同时滞回阻尼将导致复数形式的刚度(所以这种阻尼又称复阻尼) ,这对于一般动力时程分析而言,计算将比较复杂,耗时耗力,因而复阻尼实际应用并不多。

阻尼理论的假设基本可分成两类:一是基于阻尼过程的物理概念,每一种假设对应着一种具体的阻尼现象;另一类注重数学处理上的方便,并不一定对应哪种阻尼物理过程。

3.1从物理概念上分为内阻尼和外阻尼(空气动力阻尼)

内阻尼由材料内部或结构构件之间的摩擦作用产生,所以内阻尼又分为材料阻尼和结构阻尼。外阻尼由结构体系与外部环境介质相互作用而产生,桥梁结构物一般置于大气之中,所以又称为空气动力阻尼。

3.2从数学处理上分为粘滞阻尼和复阻尼

复阻尼理论又称滞变阻尼理论,它假定阻尼力大小与弹性恢复力成正比,而振动时应变总是落后于应力一个相位角,从而建立起带有虚数的动力反应方程。复阻尼理论的特点是其非频变特性,在结构简谐振动分析中行之有效。但对更一般的非简谐动力问题,该模型过于复杂,因而在结构分析中应用不多。

粘滞阻尼理论假定当运动速度不大时,质点受到的粘滞阻尼力与质点速度成正比,方向相反。因此其显著特点是数学上处理的方便性,不论是简谐振动还是非简谐振动都可以直接写出系统的运动方程,而且由于与速度成正比,所以该运动方程是线性微分方程。

3.3正交阻尼或比例阻尼

将粘滞阻尼应用于多自由度系统时,如果阻尼矩阵可以通过模态向量正交化为对角阵时,就称为正交阻尼或比例阻尼。否则称为非比例阻尼。

3.4柯西阻尼模型是一般的振型正交阻尼

柯西阻尼模型是最一般的振型正交阻尼,它在满足正交条件的同时,可以指定系统的r个阻尼比。

3.5瑞利阻尼

瑞利(rayleigh)阻尼做为应用最广泛的阻尼模型,它有较好的解耦性能。ap lha和beta阻尼用于定义rayleigh阻尼常数α、β,此为与质量或刚度成比例的阻尼模型,即质量阻尼模型或刚度阻尼模型。阻尼矩阵[ c ]是在用这些常数乘以质量矩阵[m ]和刚度矩阵[ k]后计算出来的。阻尼矩阵[c ]以及α和β的求解公式如下。

[c ]=α[m ] +β[ k];

α=2ωi ξj (ωj ξi -ωi ωj )/(ωj2 –ωi2);

β=2 (ωj ξj -ωi ξi )/(ωj2 -ωi2);

式中:ωi、ωj为任意给定两阶自振频率;ξi、ξj 为相应给定振型的阻尼比,脚标i、j表示对应振型的阶数。在ansys中我们通常假设ξi =ξj ,通过模态分析求得前两阶的自振频率,然后代入上式求出。α阻尼与质量有关,同频率成反比并主要影响低阶振型,而β阻尼与刚度有关,同频率成线性关系并主要影响高阶振型,对低频成分几乎没影响;如果要做的是非线性瞬态分析,同时刚度变化很大时,那么使用β阻尼很可能会造成收敛上的困难;一样的理由,有时在使用一些计算技巧时,比如行波效应分析的大质量法,加上了虚假的大人工质量,那么就不可以使用α阻尼。同样,在模型里加上了刚性连接时,也应该检查β阻尼会不会造成一些虚假的计算结果。

一些特定的结构动力分析任务中,常常需要建立精确的结构动力有限元模型。建模的精度要求不只限于刚度和质量,而且还涉及到阻尼。在工程结构的振动控制建模过程中,也需要对结构进行精确建模,即不仅是要求结构的刚度和质量矩阵有相当的精度,而且还要求一定频率范围内的较多阶模态阻尼的精度有所提高。经过近几十年的研究,已经提出了多种的阻尼表达方式,其中以粘性阻尼最为常用。所有已经提出的阻尼振型,按照阻尼阵生成方法的不同可以被归结为四种类型,即总体rayleigh阻尼(比) 法、单元rayleigh 阻尼(比) 法、总体阻尼比法和单元阻尼比法

阻尼是反映结构体系振动过程中能量耗散特性的重要参数,由于实际结构的能量耗散原因、形式的复杂性,使得难以采用精确的方法对阻尼加以建模。好的阻尼模型,由模型的复特征值分析而得到的模态阻尼比应与阻尼建模时的模态阻尼比设定值相差不大。因此,衡量各种不同的阻尼建模方法(阻尼阵生成方式) 的一个直观的方法便是,比较模态阻尼比设定值和计算值。由此,给出阻尼模型的定量评价方法和评价指标如下:设对结构模态阻尼比有确切把握的频率范围为[ωm ,ωn ] ,结构落在此频率范围内的模态阶次为第m 到第n 阶,确切知道的模态阻尼比为ζm ,ζm + 1…..ζn ,以此为阻尼比设定值,生成阻尼阵,做系统复特征值分析,由下式得到结构的模态阻尼比计算值:

ζi* = -re (λi )/| λi |= -σmi/(σmi 2+ ωmdi2 )1/2(1)

式中,λi ,σmi ,ωmdi分别为系统的第i 阶特征值、复模态衰减系数和复模态阻尼频率, i = m , m + 1 , ……n ,下标m 表示模态。其中:

λi= σmi + ωmdi(2)

定义阻尼模型的评价指标如下:

q ={1/(n - m + 1 )*σi =(m,n)[1 -ζi*/ζi]2 } 1/ 2(3)

它反映了阻尼比计算值与设定值之间的接近程度,q 值越大,说明二者离差就越大,计算值的效果就越差,相应的阻尼模型就越差;反之,则说明该阻尼阵越逼近真实系统的阻尼情形。则q 就可以作为衡量阻尼模型的性能优劣的指标。