搜索泛函变分小结：理解变分法的基本思想及其发展【转发】
2017-02-27 by:CAE仿真在线 来源:互联网
感觉泛函变分是个很神奇的东西,居然能求出一个函数,想好好学一学,发现书上讲的不透彻,证明不详细,用于求解泛函变分时查公式还行,但要了解变分法的思想,简直不可能。个人感觉推导出欧拉方程,不管变分也还可以理解,但一到变动边界的时候就费解了,原因还是前面变分的物理意义没弄懂,这种情况下只能充当跟屁虫。
不知道现在的很多老师是不懂还是故意藏着掖着,精髓不给人讲,让人摸不着头脑,可悲可叹!这个时代,人们盲目的迷信西方科学,要知道欧拉、拉格朗日再牛,那也只是用自己的智慧阐释了自然的规律,他们的起航工作固然可敬,但如果他说啥就听啥,那就是舍本逐末了,用符合自己思维方式的方法,配合前人的工作,理解自然规律才是正道,盲目的在人家的思维圈子里转啊转,悲乎!个人愚见!
看到网上有个老师讲变分,短短数讲,通俗易懂,没有大段的公式定理迷惑人,这才是育人的态度。不过变分还是一个比较深的理论,他讲的一共一个多小时,不足以覆盖全部泛函变分的知识,但对于理解变分的发展、思想还是一个很好的教程。
以下是视频主要内容的总结:
泛函如下:
设
其中:y(x)为解函数,ε为控制因子
则解满足:
最终得欧拉方程如下:
或
函数的变分即在函数上加一个扰动,注意自变量上没有扰动,如下:
其中,δy为y的变分。
自变量的变分为0,即
某些量被拿来做另一些量的依据,则这些量的变分为0。
变分与微分的可变换性:
所以变分与微分具有可交换性。
变分与积分地可交换性:
所以变分与积分具有可交换性。
函数的变分计算如下:
此公式类似于全微分的表达式,但全微分中的dx、dy、dz是实实在在的移动,而δx、δy、δz是人为加上去的扰动。两者的区别在于变分是一种数学实验,但又由于变分也是微扰,故可用且需要用微分的公式计算。微扰的含义如下理解:
其中ε很微小,α、β、γ任意变化,微小体现了微,任意变化体现了扰。
故(δx, δy, δz)是三维空间中任意变化的向量,任意角度、任意长度(微小)。
即梯度为0。
注意:之前提到自变量的变分为0,而这里又拿自变量的变分表示函数的变分,是不是矛盾呢?我觉得这可以用“某些量被拿来做另一些量的依据,则这些量的变分为0”来解释,在求泛函时,考虑的是函数的扰动对泛函值的影响,自变量为函数的依据,其便分为0,而在具体计算函数的变分时,则需要考虑自变量的变动。(个人理解,讲座中这一点没讲到)
函数上加微扰,泛函上有多大的差别,故定义如下:
上面的泰勒展开,由于后面是微量ε的高次项,故略去。
除式泛函变分:
微分的变分:
设
两函数的变化由同一个ε控制。
则
解得:
即为多应变量的欧拉公式,可以推广到更一般,如下:
如在辅助条件
求泛函的极值
最后得拉格朗日方程:
解得
即为奥氏方程。
本文来自新浪了凡春秋的博客,博主2006年入读中国科技大学。
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