物理场的求解方法概述【转发】

从哲学的角度讲,结构及其相互作用的矛盾构成了世界发展的根本原因。从物理学的角度来说,结构和相互作用被译为物质和场。所以,场就是物质之间的相互作用。物理学上所谈的场包括引力场、电磁场、核场和弱场。场的相互作用是通过交换量子而实现的,现在所发现的量子有:光子和8种核场量子。工程应用所谈的场的与上述概念略有不同,它主要从实用而非量子角度来谈场,如结构场、流场、声场、浓度场、温度场、静电场、稳恒磁场和电磁场等。

要研究场,必须首先建立其数学模型。虽然对各个场的研究划归到不同的学科,但是所有学科基本上采取了相似的建模方法:微元分析法。该法从研究对象中选取一个微元(通常是无限小的立方体)为对象,列出微元6个面上和体内的物理量,根据能量守恒定律、质量守恒定律、动量定理等学科内的特定规律列方程,得到一个或一个以上的偏微分方程。由于时间和空间是场的存在形式,因此该方程一般是以时间和空间为自变量,以所研究场变量为因变量的偏微分方程。一般而言,在固体力学领域,得到的是平衡方程(或动力方程)、物理方程和几何方程;在流体力学领域,是质量守恒方程、动量方程和能量方程;在传热学领域,是导热方程;在电磁场领域,是麦克斯韦方程组。

对于这类问题主要存在四种解法:解析法、半解析法、数值法和实验法。解析法十分精确可靠,但是只能求解比较简单的问题;数值法充分利用计算机的特点,对一个问题从空间和时间上进行离散,理论上可以求解任意复杂的问题,但是计算量很大;半解析法一般对控制方程进行近似,再采用数值分析方法得到控制方程中的待定系数,比数值法求解速度更快,不过只针对某些简单的问题有效;试验法主要用于对象复杂的灰箱或黑箱系统,是理论分析和数值计算的基础,但是花费昂贵,周期长而且受到模型尺寸、测量精度等的制约。对于边界条件或形体复杂的实际工程领域,用得比较多是数值法。

数值法又分为两类:有网格法和无网格法。根据网格划分的方式,有网格法又进一步分为加权余量法、有限元法、边界元法、有限差分法和有限体积法。基于网格的方法其数学原理各不相同,但是求解过程都分为两个阶段:离散化阶段和代数方程组的求解阶段。在离散化阶段,用网格线将连续的定解域化分为有限个结点集,选取适当的途径将微分方程及其定解条件转化为网格结点上相应的代数方程组,即建立代数方程组。然后使用计算机求解代数方程组,得到结点上的离散近似解。结点之间的近似解,一般认为光滑变化,原则上可以应用插值方法确定,从而得到定解问题在整个定解区域上的近似解。

有限差分法是最早采用的数值方法。它将求解区域分为矩形或正交曲线网格,在网格线交点(即结点上),将控制方程中的每一个微商用差商来代替,从而将连续函数的微分方程离散为网格结点上定义的差分方程,每个方程中包含了本结点及其附近一些结点上的待求函数值,通过求解这些代数方程就可获得所需的数值解。

有限元法是目前发展最为成熟的一种数值方法。该方法将求解域剖分成相连结又互不重叠的具有一定规则几何形状的有限个子区域,这些子区域称为单元,单元之间以结点相联结。函数值被定义在结点上,在单元中选择插值函数,以结点函数值与基函数的乘积的线性组合成单元的近似解来逼近单元中的真解。利用某种方法建立单元方程,然后组装成为总体的有限元方程,接着考虑边界条件进行求解。

边界元法是在经典积分方程和有限元法基础上发展起来的求解微分方程的数值方法。其基本思想是:将微分方程相应的基本解作为权函数,应用加权余量法并应用格林函数导数联系解域中待求函数值与边界上的函数值与法向导数值之间关系的积分方程,令积分方程在边界上成立获得边界积分方程,然后把边界离散化,建立边界元代数方程组,求解后可获得边界上全部结点的函数值和法向导数值,将全部边界值代入积分方程中,即可获得内点函数值。

有限体积法又称为控制体积法,其基本思路是:将计算区域化分为网格,并使每个网格点周围有一个互不重叠的控制体积,将待解微分方程对每一个控制体积积分,从而得出一组离散方程。然后求解此离散方程,得到网格点上的因变量的值。

随着计算机技术的发展和计算机的普及,上述基于网格的方法在过去几十年内得到了长足的发展,但是这些基于网格的方法时在使用时也遇到了一些问题,如结构大变形问题,对结构破坏过程的仿真,对新材料性能的分析和模拟,应力高梯度和瞬态动力问题等。而且,基于网格的方法如果在计算过程中出现网格畸变,则导致计算失效。为了处理大变形或随时间变化的不连续性,需要重新进行网格重构。为了解决这种问题,出现了无网格数值计算方法(Meshless Method),该方法抛弃了网格,直接基于结点形成近似,在特定领域内具有重要的研究价值和应用前景。

目前已经提出十余种无网格方法,各种无网格方法之间的区别主要在于所使用的试函数(如移动最小二乘近似,重构核函数近似,单位分解法,径向基函数法,点插值法等)和微分方程的等效形式(如迦辽金法,配点法,最小二乘法等)。建立近似函数时不借助于网格,基于函数逼近近似而非插值是无网格法有限元法的主要区别。采用定义在离散结点上具有紧支特性的函数来构造近似函数,而不用定义在全域上的级数展开形式是无网格法与经典加权残量法的主要区别。

转自公众号:宋博士 ANSYS学习与应用