对于显式与隐式有限元的理解

2017-05-08  by:CAE仿真在线  来源:互联网

基于动力学方程,因此无需迭代;而静态隐式算法基于虚功原理,一般需要迭代计算。显式算法,最大优点是有较好的稳定性。
动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式(如广泛使用的中心差分法、线性加速度法、Newmark法和wilson法等),不用直接求解切线刚度,不需要进行平衡迭代,计算速度快,时间步长只要取的足够小,一般不存在收敛性问题。因此需要的内存也比隐式算法要少。并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算,程序编制也相对简单。但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵,而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥,因而往往采用减缩积分方法,容易激发沙漏模式,影响应力和应变的计算精度。
静态显式法基于率形式的平衡方程组与Euler向前差分法,不需要迭代求解。由于平衡方程式仅在率形式上得到满足,所以得出的结果会慢慢偏离正确值。为了减少相关误差,必须每步使用很小的增量。

隐式算法中,在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解,并且每次迭代都需要求解大型的线性方程组,这以过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。该算法中的增量步可以比较大,至少可以比显式算法大得多,但是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度的限制,需要取一个合理值。

使用显式方法,计算成本消耗与单元数量成正比,并且大致与最小单元的尺寸成反比,应用隐式方法,经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由度数目的平方成正比,因此如果网格是相对均匀的,随着模型尺寸的增长,显式方法表明比隐式方法更加节省计算成本。

a)在求解动力学问题时,将方程在空间上采用有限元法(或其他方法)进行离散后,变为常微分方程组F=M(u)+C(u)+K(u)。求解这种方程的其中两种方法为,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解决动力学问题被称为显式算法,采用Newmark法解决动力学问题被称为隐式算法。
b)在求解动力学问题时,离散元法(也有其他方法)主要有两种思想:动态松弛法(向后时步迭代),静态松弛法(每一步要平衡)。动态松弛法是显式算法,静态松弛法是隐式算法。其中冲压成型就是动态松弛法的主要例子。
c)在求解静力学问题时,有时候将其看作动力学问题来处理而采用动态松弛法,这是显式算法。Flac就是主要例子。

四、总结:

1)求解线性静力学问题,虽然求解线性方程组,但是没有时步的关系,所以不应将其看作隐式算法。

2)求解非线性静力学问题,虽然求解过程需要迭代,或者是增量法,但是没有明显的时步问题,所以不应将其看作隐式算法。

3)静态松弛法,可以认为是将动力学问题看作静力学问题来解决,每一步达到静力平衡,需要数值阻尼。

4)动态松弛法,可以认为是将静力学问题或者动力学问题,分为时步动力学问题,采用向后时步迭代的思想计算。对于解决静力学问题时,需要人工阻尼。

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