Abaqus单元的数学描述和积分——完全积分

2013-08-14  by:接触分析软件应用培训中心  来源:仿真在线

Abaqus单元的数学描述和积分——完全积分

通过考虑一个静态分析的悬臂梁,如图4-1所示,将演示单元阶数(线性或二次)、单元数学描述和积分水平对结构模拟的精度的影响。这是一个用来评估给定的有限元性能的典型测试。由于梁是相当的细长,通常采用梁单元来建立模型。但是,在这里我们将利用此模型帮助评估各种实体单元的效果。

梁为150 mm长,2.5 mm宽,5 mm高;一端固定;在自由端施加5 N的集中荷载。材料的杨氏模量E为70 GPa,泊松比为0.0。采用梁的理论,在载荷P作用下,梁自由端的静挠度给出为

其中,,l是长度,b是宽度,d是梁的高度。

当P = 5N时,自由端挠度是3.09 mm。

图4-1 自由端受集中载荷P的悬臂梁

4.1.1 完全积分

所谓“完全积分”是指当单元具有规则形状时,所用的Gauss积分点的数目足以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。对六面体和四边形单元而言,所谓“规则形状”是指单元的边是直线并且边与边相交成直角,在任何边中的节点都位于边的中点上。完全积分的线性单元在每一个方向上采用两个积分点。因此,三维单元C3D8在单元中采用了2´2´2个积分点。完全积分的二次单元(仅存在于ABAQUS/Standard)在每一个方向上采用3个积分点。对于二维四边形单元,完全积分的积分点位置如图4-2所示。

图4-2 完全积分时,二维四边形单元中的积分点

应用ABAQUS/Standard模拟悬臂梁问题,采用了几种不同的有限元网格,如图4-3所示。采用了或者线性或者二次的完全积分单元进行模拟,以此说明两种单元的阶数(一阶与二阶)和网格密度对结果精度的影响。

关于各种模拟情况下的自由端位移与梁理论解3.09 mm的比值,如表4-1所示。

应用线性单元CPS4和C3D8所得到的挠度值相当差,以至于其结果不可用。随着网格的粗糙,结果的精度越差,但是即使网格划分得相当细(8´24),得到的自由端位移仍只有理论值的56%。注意到,对于线性完全积分单元,在梁厚度方向的单元数目并不影响计算结果。自由端挠度的误差是由于剪力自锁(shear locking)引起的,这是存在于所有完全积分、一阶和实体单元中的问题。

图4-3 悬臂梁模拟所采用的网格

表4-1 采用积分单元的梁挠度比值

像我们所看到的,剪力自锁引起单元在弯曲时过于刚硬,对此解释如下。考虑受纯弯曲结构中的一小块材料,如图4-4所示,材料产生弯曲,变形前平行于水平轴的直线成为常曲率的曲线,而沿厚度方向的直线仍保持为直线,水平线与竖直线之间的夹角保持为。

图4-4 受弯矩M作用下材料的变形

线性单元的边不能弯曲;所以,如果应用单一单元来模拟这一小块材料,其变形后的形状如图4-5所示。

图4-5 受弯矩M作用下完全积分、线性单元的变形

为清楚起见,画出了通过积分点的虚线。显然,上部虚线的长度增加,说明1方向的应力()是拉伸的。类似地,下部虚线的长度缩短,说明是压缩的。竖直方向虚线的长度没有改变(假设位移是很小的);因此,所有积分点上的为零。所有这些都与受纯弯曲的小块材料应力的预期状态是一致的。但是,在每一个积分点处,竖直线与水平线之间夹角开始时为,变形后却改变了,说明这些点上的剪应力不为零。显然,这是不正确的:在纯弯曲时,这一小块材料中的剪应力应该为零。

产生这种伪剪应力的原因是因为单元的边不能弯曲,它的出现意味着应变能正在产生剪切变形,而不是产生所希望的弯曲变形,因此总的挠度变小:即单元是过于的刚硬。

剪力自锁仅影响受弯曲载荷的完全积分的线性单元的行为。在受沿坐标方向或剪切载荷时,这些单元的功能表现完好。而二次单元的边界可以弯曲(见图4-6),故它没有剪力自锁的问题。从表4-1可见,二次单元预期的自由端位移接近于理论解答。但是,如果二次单元发生扭曲或弯曲应力有梯度,将有可能展示某种程度的自锁,这两种情况在实际问题中是可能发生的。

图4-6 受弯矩M作用下完全积分、二次单元的变形

只有当确信载荷只会在模型中产生很小的弯曲时,才可以采用完全积分的线性单元。如果对载荷产生的变形类型有所怀疑,则应采用不同类型的单元。在复杂应力状态下,完全积分的二次单元也有可能发生自锁;因此,如果在模型中应用这类单元,应细心地检查计算结果。然而,对于模拟局部应力集中的区域,应用这类单元是非常有用的。

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