Abaqus线性动态分析

2013-08-14 by:大型设备有限元分析中心来源:仿真在线

Abaqus线性动态分析

如果你只对结构承受载荷后的长期响应感兴趣,静力分析(static analysis)是足够的。然而,如果加载时间很短(例如在地震中)或者如果载荷在性质上是动态的(例如来自旋转机械的荷载),你就必须采用动态分析(dynamic analysis)。本章将讨论应用ABAQUS/Standard进行线性动态分析;关于应用ABAQUS/Explicit进行非线性动态分析的讨论,请参阅第9章“非线性显式动态分析”。

7.1 引言

动态模拟是将惯性力包含在动力学平衡方程中:

其中

M 结构的质量。

结构的加速度。

在结构中的内力。

P 所施加的外力。

在上面公式中的表述是牛顿第二运动定律(F = ma)。

在静态和动态分析之间最主要的区别是在平衡方程中包含了惯性力(M)。在两类模拟之间的另一个区别在于内力的定义。在静态分析中,内力仅由结构的变形引起;而在动态分析中,内力包括源于运动(例如阻尼)和结构的变形的贡献。

7.1.1 固有频率和模态

最简单的动态问题是在弹簧上的质量自由振动,如图7-1所示。

图7–1 质量-弹簧系统

在弹簧中的内力给出为,所以它的动态运动方程为

这个质量-弹簧系统的固有频率(natral frequency)(单位是弧度/秒(rad/s))给出为

如果质量块被移动后再释放,它将以这个频率振动。若以此频率施加一个动态外力,位移的幅度将剧烈增加,这种现象即所谓的共振。

实际结构具有大量的固有频率。因此在设计结构时,非常重要的是避免使可能的载荷频率过分接近于固有频率。通过考虑非加载结构(在动平衡方程中令)的动态响应可以确定固有频率。则运动方程变为

对于无阻尼系统,,因此有

这个方程的解具有形式为

将此式代入运动方程,得到了特征值(eigenvalue)问题

其中。

该系统具有个特征值,其中是在有限元模型中的自由度数目。记是第个特征值;它的平方根是结构的第阶模态的固有频率(natural frequency),而是相应的第阶特征向量(eigenvector)。特征向量也就是所谓的模态(mode shape)(也称为振型),因为它是结构以第阶模态振动的变形形状。

在ABAQUS/Standard中,应用频率的提取过程确定结构的振型和频率。这个过程应用起来十分容易,你只要指出所需要的振型数目或所关心的最高频率即可。

7.1.2 振型叠加

在线性问题中,可以应用结构的固有频率和振型来定性它在载荷作用下的动态响应。采用振型叠加(modal superposition)技术,通过结构的振型组合可以计算结构的变形,每一阶模态乘以一个标量因子。在模型中的位移矢量定义为

其中是振型的标量因子。这一技术仅在模拟小变形、线弹性材料和无接触条件的情况下是有效的,换句话说,即线性问题。

在结构的动力学问题中,结构的响应往往被相对较少的几阶振型控制,在计算这类系统的响应时,应用振型叠加成为特别有效的方法。考虑一个含有10,000个自由度的模型,对动态运动方程的直接积分将在每个时间点上同时需要联立求解10,000个方程。如果通过100个振型来描述结构的响应,则在每个时间增量步上只需求解100个方程。更重要的是,振型方程是解耦的,而原来的运动方程是耦合的。在计算振型和频率的过程中,开始时需要一点成本,但是,在计算响应时将会节省大量的计算花费。

如果在模拟中存在非线性,在分析中固有频率会发生明显的变化,因此振型叠加法将不再适用。在这种情况下,只能要求对动力平衡方程直接积分,它所花费的时间比振型分析昂贵得多。

必须具备下列特点的问题才适合于进行线性瞬态动力分析:

Ÿ 系统应该是线性的:线性材料行为,无接触条件,以及没有非线性几何效应。

Ÿ 响应应该只受相对少数的频率支配。当在响应中频率的成分增加时,诸如是打击和碰撞的问题,振型叠加技术的效率将会降低。

Ÿ 载荷的主要频率应该在所提取的频率范围之内,以确保对载荷的描述足够精确。

Ÿ 应用特征模态,应该精确地描述由于任何突然加载所产生的初始加速度。

Ÿ 系统的阻尼不能过大。

7.2 阻尼

如果允许一个无阻尼结构做自由振动,则它的振幅会是一个常数。然而在实际中,能量被结构的运动耗散,振动的幅度减小直至振动停止。这种能量耗散被称为阻尼(damping)。通常假定阻尼为粘滞的,或者正比于速度。包含阻尼的动力平衡方程可以重新写为

其中

C 是结构的阻尼矩阵

是结构的速度。

能量耗散来自于诸多因素,其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。阻尼是一种很方便的方法,它包含了重要的能量吸收而又无需模拟具体的效果。

在ABAQUS/Standard中,特征模态的计算是关于无阻尼系统的。然而,大多数工程问题都包含某种阻尼,尽管阻尼可能很小。对于每个模态,在有阻尼和无阻尼的固有频率之间的关系是

其中

是阻尼特征值,

是临界阻尼比,

是该振型的阻尼,

是临界阻尼。

对于的较小值(),有阻尼系统的特征频率非常接近于无阻尼系统的相应值;当增大时,无阻尼系统的特征频率成为不太准确的;而当接近于1时,采用无阻尼系统的特征频率就成为无效的。

如果结构是处于临界阻尼(),在任何扰动后,结构不会有摆动而是尽可能迅速地恢复到它的初始静止构形。(见图7-2)

图7–2 阻尼

7.2.1 在ABAQUS/Standard中阻尼的定义

对于瞬时模态分析,在ABAQUS/Standard中可以定义一些不同类型的阻尼:直接模态阻尼(direct modal damping),瑞利阻尼(Rayleigh damping)和复合模态阻尼(composite modal damping)。

阻尼是针对模态动力学过程定义的,阻尼是分析步定义的一部分,每阶模态可以定义不同量值的阻尼。

直接模态阻尼

应用直接模态阻尼可以定义与每阶模态相关的临界阻尼比,其典型的取值范围是在临界阻尼的1%到10%之间。直接模态阻尼允许用户精确地定义系统的每阶模态的阻尼。

Rayleigh阻尼

在Rayleigh阻尼中,假设阻尼矩阵是质量和刚度矩阵的线性组合,

其中和是由用户定义的常数。尽管阻尼是正比于质量和刚度矩阵的假设没有严格的物理基础,实际上我们对于阻尼的分布知之甚少,也就不能保证其它更为复杂的模型是正确的。一般的,这个模型对于大阻尼系统不可靠;即超过临界阻尼的大约10%。相对于其它形式的阻尼,你可以精确地定义系统的每阶模态的Rayleigh阻尼。

对于一个给定模态i,临界阻尼值为,而Rayleigh阻尼值和的关系为

复合阻尼

在复合阻尼中,对于每种材料定义一个临界阻尼比,这样就得到了对应于整体结构的复合阻尼值。当结构中有多种不同的材料时,这一选项是有用的。在本指南中将不对复合阻尼做进一步的讨论。

7.2.2 选择阻尼值

在大多数线性动力学问题中,恰当地定义阻尼对于获得精确的结果是十分重要的。但是,在某种意义上阻尼只是近似地模拟了结构吸收能量的特性,并非试图去模拟引起这种效果的物理机制。因此,在模拟中确定所需要的阻尼数据是很困难的。偶尔,你可以从动态试验中获得这些数据,但是,你不得不通过查阅参考资料或者经验获得这些数据。在这些情况下,你必须十分谨慎地解释模拟结果,并通过参数分析研究来评估模拟对于阻尼值的敏感性。

7.3 单元选择

事实上,ABAQUS的所有单元均可用于动态分析,选取单元的一般原则与静力分析相同。但是,在模拟冲击和爆炸载荷时,应该选用一阶单元,因为它们具有集中质量公式,这种公式模拟应力波的效果优于二阶单元采用的一致质量公式。

7.4 动态问题的网格剖分

当你正在设计应用于动态模拟的网格时,你需要考虑在响应中将被激发的振型,并且使所采用的网格能够充分地反映出这些振型。这意味着能够满足静态模拟的网格,不一定能够计算由于加载激发的高频振型的动态响应。

例如,考虑图7-3所示的板。一阶壳单元的网格对于板受均布载荷的静力分析是适合的,并也适合于一阶振型的预测。但是,该网格是明显地过于粗糙以至于不能够精确地模拟第六阶振型。

图7–3 板的粗网格

图7-4显示了同样的板采用了一阶单元的精细网格的模拟。现在,第六阶振型的位移形状看起来明显变好,对于该阶振型所预测的频率更加准确。如果作用在板上的动态载荷会显著地激发该阶振型,则必须采用精细的网格;采用粗网格将得不到准确的结果。

图7–4 板的精细网格

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