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2013-08-14 by:Abaqus非线性分析研究 来源:仿真在线
Abaqus有限元非线性分析——非线性问题的求解
关于结构的非线性载荷-位移曲线,如图8-7所示,分析的目标是确定其响应。考虑作用在物体上的外部力P和内部(节点)力I,(分别见图8-8 (a)和图8-8 (b))。由包含一个节点的各个单元中的应力引起了作用于该节点上的内部力。
为了使物体处于静态平衡,作用在每个节点上的静力必须为零。因此,静态平衡的基本状态是内部力I和外部力P必须互相平衡:
ABAQUS/Standard应用Newton-Raphson算法获得非线性问题的解答。在非线性分析中,不能像在线性问题中做的那样,通过求解单一系统的方程计算求解。而是和增量地施加给定的载荷求解,逐步地获得最终的解答。因此,ABAQUS/Standard将模拟划分为一定数量的载荷增量步(load increments),并在每个载荷增量步结束时寻求近似的平衡构形。对于一个给定的载荷增量步,ABAQUS/Standard通常需要采取若干次迭代才能确定一个可接受的解答。所有这些增量响应的总和就是非线性分析的近似解答。因此,为了求解非线性问题,ABAQUS/Standard组合了增量和迭代过程。
通过显式地从上一个增量步前推出动力学状态而无需进行迭代,ABAQUS/Explicit确定了动平衡方程的解答。显式地求解一个问题,不需要切向刚度矩阵的计算。显式中心差分算子满足了在增量步开始时刻t的动力学平衡方程;利用在时刻t计算的加速度,前推出在时刻的速度解答和在时刻的位移解答。对于线性和非线性问题是相似的,显式方法都需要一个小的时间增量步,它只依赖于模型的最高阶自振频率,而是与载荷的类型和加载时间无关。典型的模拟需要大量的增量步;然而事实上,由于在每个增量步中无需求解全体方程的集合,所以每一个增量步的计算成本,显式方法比隐式方法要小得多。正是显式动态方法的小增量步特点,使得ABAQUS/Explicit非常适合于非线性分析。
8.2.1 分析步、增量步和迭代步
本节将引入一些新词汇以描述分析过程的不同部分。清楚地理解在分析步(step)、载荷增量步(load increment)和迭代步(iteration)相互之间的区别是很重要的。
l 模拟计算的加载历史包含一个或多个步骤。你定义的分析步,一般地包括一个分析过程选项、载荷选项和输出要求选项。在每个分析步可以应用不同的载荷、边界条件、分析过程选项和输出要求。例如:
l 步骤一:在刚性夹具上夹持板材。
l 步骤二:加载使板材变形。
l 步骤三:确定已变形板材的固有频率。
l 增量步是分析步的一部分。在非线性分析中,施加在一个分析步中的总载荷被分解成更小的增量步,这样就可以按照非线性求解步骤进行计算。
在ABAQUS/Standard中,你可以建议第一个增量步的大小。ABAQUS/Standard会自动地选择后继增量步的大小。在ABAQUS/Explicit中,时间增量步是完全地自动默认的,而无需用户干预。由于显式方法是条件稳定的,对于时间增量步具有稳定极限值。在第9章“非线性显式动态分析”中将讨论稳定时间增量。
在每个增量步结束时,结构是处于(近似的)平衡状态,并且可以将结果写入输出数据库、重启动、数据、或者结果文件中。如果选择在某一增量步将计算结果写入输出数据库文件,这个增量步称为画框(frames)。
l 在ABAQUS/Standard和在ABAQUS/Explicit的分析中,与时间增量有关的问题是非常不同的,原因是在ABAQUS/Explicit中的时间增量通常是更小一些。
l 当采用隐式方法求解时,迭代步是在一个增量步中寻找平衡解答的一次试探。在迭代结束时,如果模型不是处于平衡状态,ABAQUS/Standard将进行新一轮迭代。经过每一次迭代,ABAQUS/Standard获得的解答应当是更加接近于平衡状态;有时ABAQUS/Standard可能需要许多次迭代才能得到平衡解答。当已经获得了平衡解答,增量步即告完成。仅当一个增量步结束时才能输出所需要的结果。
l 在一个增量步中,ABAQUS/Explicit无需迭代即可获得解答。
8.2.2 ABAQUS/Standard中的平衡迭代和收敛
对于一个小的载荷增量DP,结构的非线性响应如图8-9所示。ABAQUS/Standard应用基于结构初始构形u0的结构初始刚度K0,和DP计算关于结构的位移修正值(displacement correction)ca。利用ca将结构的构形更新为ua。
收敛性(convergence)
ABAQUS/Standard基于结构更新的构形ua,形成了新的刚度Ka。也利用更新的构形,ABAQUS/Standard计算内部作用力Ia。现在可以计算在所施加的总载荷P和Ia之间的差为:
其中Ra是对于迭代的残差力(force residual)。
如果Ra在模型中的每个自由度上均为零,在图8-9中的a点将位于载荷-挠度曲线上,并且结构将处于平衡状态。在非线性问题中,几乎不可能使Ra等于零,因此,ABAQUS/Standard将Ra与一个容许值进行比较。如果Ra是小于这个残差力容许值,ABAQUS/Standard就接受结构的更新构形作为平衡的结果。默认的容许值设置为在整个时间段上作用在结构上的平均力的0.5%。在整个模拟过程中,ABAQUS/Standard自动地计算这个在空间和时间上的平均力。
如果Ra是比目前的容许值小,认为P和Ia是处于平衡状态,而ua就是结构在所施加载荷下有效的平衡构形。但是,在ABAQUS/Standard接受这个结果之前,还要检查位移修正值ca是否相对小于总的增量位移,Dua=ua-u0。若ca是大于增量位移的1%,ABAQUS/Standard将再进行一次迭代。只有这两个收敛性检查都得到满足,才认为此载荷增量下的解是收敛的。上述收敛判断规则有一个例外,即所谓线性增量情况。若增量步内最大的作用力残差是小于时间上的平均力乘以10-8的任何增量步,将其定义为线性增量。任何采用时间上平均力的情况,凡是通过了如此严格的最大作用力残差的比较,即被认为是线性的并不需要进一步的迭代,其位移修正值的解答无需进行任何检查即认为是可接受的。
如果迭代的结果不收敛,ABAQUS/Standard进行下一次迭代以试图使内部和外部的力达到平衡。第二次迭代采用前面迭代结束时计算得到的刚度Ka,并与Ra共同来确定另一个位移修正值cb,使得系统更加接近于平衡状态(见在图8-10中的点b)。
ABAQUS/Standard应用来自结构新的构形ub的内部作用力计算新的作用力残值Rb,再次将在任何自由度上的最大作用力残差值Rb与作用力容许残差值进行比较,并将第二次迭代的位移修正值cb与位移增量值Dub=ub – u0进行比较。如果需要,ABAQUS/Standard将做进一步的迭代。
对于在非线性分析中的每次迭代,ABAQUS/Standard形成模型的刚度矩阵,并求解系统的方程组。为了进行一次完整的线性分析,在计算成本上,这意味着每次迭代都是等价的。现在必须非常清楚,在ABAQUS/Standard中的非线性分析的计算费用可能比线性分析远高许多倍。
应用ABAQUS/Standard可以在每一个收敛的增量步保存结果。所以,对于同一个几何构型,来自非线性模拟计算的输出数据量是来自线性分析数据量的许多倍。在规划你的计算机资源时,需要考虑这些因素和你所要进行的非线性模拟计算的类型。
8.2.3 ABAQUS/Standard中的自动增量控制
ABAQUS/Standard自动地调整载荷增量步的大小,因此它能便捷而有效地求解非线性问题。用户只需在每个分析步模拟中给出第一个增量步的值,然后,ABAQUS/Standard自动地调整后续增量步的值。如果用户未提供初始增量步的值,ABAQUS/Standard会试图将该分析步中所定义的全部载荷施加在第一个增量步中。在高度非线性的问题中,ABAQUS/Standard不得不反复减小增量步,从而导致占用了CPU时间。一般来说,提供一个合理的初始增量步的值会有利于问题的求解(例如,见第8.4.1节“修改模型”);只有在很平缓的非线性问题中才可能将分析步中的所有载荷施加于单一增量步中。
对于一个载荷增量,得到收敛解所需要的迭代步数量的变化取决于系统的非线性程度。在默认情况下,如果经过16次迭代的解仍不能收敛或者结果显示出发散,ABAQUS/Standard放弃当前增量步,并将增量步的值设置为原来值的25%,重新开始计算。利用比较小的载荷增量来尝试找到收敛的解答。若此增量仍不能使其收敛,ABAQUS/Standard将再次减小增量步的值。在中止分析之前,ABAQUS/Standard默认地允许至多五次减小增量步的值。
如果增量步在少于五次迭代时就达到了收敛,这表明相当容易地得到了解答。因此,如果连续两个增量步都只需少于五次的迭代就可以得到收敛解,ABAQUS/Standard会自动地将增量步的值提高50%。
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