显示动力学分析和隐式动力学分析

2013-08-14 by:模态、频率相关分析中心来源:仿真在线

显示动力学分析和隐式动力学分析

什么叫显示动力学,什么叫隐式动力学分析?

1、显式算法基于动力学方程,因此无需迭代;而静态隐式算法基于虚功原理,一般需要迭代计算。
2、显式算法最大优点是有较好的稳定性。
动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式,不用直接求解切线刚度,不需要进行平衡迭代,计算速度快,时间步长只要取的足够小,一般不存在收敛性问题。因此需要的内存也比隐式算法要少。并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算,程序编制也相对简单。但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵,而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥, 因而往往采用减缩积分方法,容易激发沙漏模式,影响应力和应变的计算精度。
静态显式法基于率形式的平衡方程组与Euler向前差分法,不需要迭代求解。由于平衡方程式仅在率形式上得到满足,所以得出的结果会慢慢偏离正确值。为了减少相关误差,必须每步使用很小的增量。
3、隐式算法
隐式算法中,在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解,并且每次迭代都需要求解大型的线性方程组,这个过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。该算法中的增量步可以比较大,至少可以比显式算法大得多,但是实际运算中上要受到迭代次数及非线性程度的限制,需要取一个合理值。
4、求解时间
使用显式方法,计算成本消耗与单元数量成正比,并且大致与最小单元的尺寸成反比;
应用隐式方法,经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由度数目的平方成正比;
因此如果网格是相对均匀的,随着模型尺寸的增长,显式方法表明比隐式方法更加节省计算成本
隐式求解法
将冲压成型过程的计算作为动态问题来处理后,就涉及到时间域的数值积分方法问题。在80年代中期以前,人们基本上使用牛曼法进行时间域的积分。根据牛曼法,位移、速度和加速度有着如下的关系:上面式子中 , 分别为当前时刻和前一时刻的位移, 和为当前时刻和前一时刻的速度, 和为当前时刻和前一时刻的加速度,β和γ为两个待定参数。由上式可知,在牛曼法中任一时刻的位移、速度和加速度都相互关联,这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解。这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。这就是通常所说的隐式求解法。隐式求解法可能遇到两个问题。一是迭代过程不一定收敛;二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。隐式求解法的最大优点是它具有无条件稳定性,即时间步长可以任意大。
显式求解法
如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分,则有如下位移、速度和加速度关系:
由上式可以看出,当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关,这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。另外,只要将运动方程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化,前一时刻的加速度求解无需解联立方程组,从而使问题大大简化,这就是所谓的显式求解法。显式求解法的优点是它即没有收敛性问题,也不需求解联立方程组,其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制,不能超过系统的临界时间步长。由于冲压成型过程具有很强的非线性,从解的精度考虑,时间步长也不能太大,这就在很大程度上弥补了显式求解法的缺陷。
在80年代中期以前显式算法主要用于高速碰撞的仿真计算,效果很好。自80年代后期被越来越广泛地用于冲压成型过程的仿真,目前在这方面的应用效果已超过隐式算法。显式算法在冲压成型过程的仿真中获得成功应用的关键,在于它不像隐式算法那样有解的收敛性问题。
显式算法和隐式算法,有时也称为显式解法和隐式解法,是计算力学中常见的两个概念,但是它们并没有普遍认可的定义,下面收集的一些理解。先看看一般对两种方法的理解和比较。

显式算法隐式算法
(01)适用问题动力学(动态) 静力学(静态)
(02)阻尼人工阻尼数值阻尼
(03)每步求解方法矩阵乘法线性方程组
(04)大矩阵(总刚) 否是
(05)数据存贮量小大
(06)每步计算速度快慢
(07)迭代收敛性无有
(08)确定解有确定解可能是病态无确定解
(09)时步稳定性有条件无条件
(10)时间步小大
(11)计算精度低高

(01)是明显不对的,只是对两种方法的初级理解,(02)也是同样。下面要详细讨论这两点。(03)是每一步求解的方法,(04)(05)(06)(07)(08)是由(03)所决定的,它们不是两种方法的基本特点。同样,(09)是时间步选择的方法,(10)(11)是由(09)所决定的。
通过(03)(09)可以得到两种方法的计算特点,显式算法是每一步求解为矩阵乘法,时间步选择为条件稳定;隐式算法是每一步求解为线性方程组求解,时间步选择为无条件稳定。
下面主要分析两种方法的应用范围。
在求解动力学问题时,将方程在空间上采用有限元法(或其他方法)进行离散后,变为常微分方程组[M]{..u}+[C]{.u}+[K]{u}={f}。求解这种方程的其中两种方法为,中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解决动力学问题被称为显式算法,采用Newmark法解决动力学问题被称为隐式算法。
在求解动力学问题时,离散元法(也有其他方法)主要有两种思想:动态松弛法(向后时步迭代),静态松弛法(每一步要平衡)。动态松弛法是显式算法,静态松弛法是隐式算法。其中冲压成型就是动态松弛法的主要例子。
在求解静力学问题时,有时候将其看作动力学问题来处理而采用动态松弛法,这是显式算法。其中冲压成形就是主要例子。

显式算法隐式算法
(01)每步求解方法矩阵乘法线性方程组
(02)时步稳定性有条件无条件
(03)适用问题动力中心差分法动力Newmark法
动力动态松弛法动力静态松弛法静力动态松弛法

附加说明:
1)求解线性静力学问题,虽然求解线性方程组,但是没有时步的关系,所以不应将其看作隐式算法。
2)求解非线性静力学问题,虽然求解过程需要迭代,或者是增量法,但是没有明显的时步问题,所以不应将其看作隐式算法。
3)静态松弛法,可以认为是将动力学问题看作静力学问题来解决,每一步达到静力平衡,需要数值阻尼。
4)动态松弛法,可以认为是将静力学问题或者动力学问题,分为时步动力学问题,采用向后时步迭代的思想计算。对于解决静力学问题时,需要人工阻尼。

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