有限元技术：现代力学与计算机

20世纪60年代以来,力学进入新的时代──现代力学时代,由于电子计算机的飞跃发展和广泛应用,由于基础科学和技术科学各学科间相互渗透和综合倾向的出现;以及宏观和微观相结合的研究途径的开拓,力学出现了崭新的面貌。

计算机的冲击

电子计算机自1946年问世以后,计算速度、存储容量和运算能力不断提高,过去力学工作中大量复杂、困难而使人不敢问津的问题,因此有了解决的门路。计算机改变了力学的面貌,也改变了力学家的思想方法。

有限差分方法很早被用于强爆炸冲击波计算,还随着出现了人工粘性、激波装配等克服间断性困难的办法。1963年J.E.弗罗姆和F.H.哈洛成功地计算了长方形柱体的绕流问题,给出柱体尾流涡街的形成和随时间的演变过程,并以《流体力学中的计算机实验》为题作了介绍,这一事件被看作是Link title计算流体力学兴起的标志。

弹塑性动力学问题也用差分法作了有效的计算。在计算的实践中还创立了很多新概念,从运用传统的拉格朗日方法和欧拉方法等算法,发展到在差分格子里讨论质量、动量和能量的输运和均衡,建立了所谓离散力学。

最令人鼓舞和惊叹的还是60年代有限元法的兴起。有限元法发源于结构力学。一个连续体结构经离散化为杆件(有限元)的组合后,计算机可以轻巧地对这种复杂杆件系统作出计算。有限元法一出现就显示出无比的优越性,它迅速的占领了整个弹性静力学。

经过一段关于有限元法的数学基础和收敛性问题的深入讨论之后,认清了有限元法和变分原理的关系。力学家们自觉地以各种变分原理为基础建立了不同形式的杆元、板元、壳元、夹层板元、三维应力元、半无限元、奇异元、杂交元等,发挥了有限元法的巨大威力。

随后它又冲出弹性静力学的范围,被广泛应用于弹性动力学、瞬态分析、塑性力学、流场分析,并向传热学、电磁场等非力学领域渗透,显示了极为光辉的前途。

孤立子和混沌现象的发现是计算机给力学以深刻影响的两个突出的例子。非线性波的研究在水波、气体和等离子体中的冲击波和弹塑性波等领域中受到重视。1965年N.J.扎布斯基和K.D.克鲁斯卡尔利用计算机对浅水波的KdV方程进行数值积分,发现在直线上行进的孤立波碰撞前后的形状相同,具有粒子的性质。这一发现和后继的研究使非线性波理论焕然一新,应用范围遍及大气、洋流、晶格力学,以至非线性光学和粒子物理学等。

混沌现象的最早例子是E.N.洛伦茨1963年在研究大气对流问题时通过数值计算发现的,这件事说明在确定性系统中也可出现类似随机的过程,这是有序向无序的一种演化过程,是非线性动力学中一个令人惊异的现象。混沌和有关的奇怪吸引子理论的一些结果冲击了数学、物理学的许多分支。例如湍流问题是流体力学中长斯存在的难题,分岔和混沌模型结合在实验中发现的拟序结构,使这个难题的解决似乎有了新的希望。

计算机惊人的运算能力和对介质的力学性能不甚清楚之间的矛盾,推动了对材料本构关系的深入研究。计算机又使力学实验方法现代化,实验数据的采集整理可以借助微型计算机自动实现。计算机甚至可部分地代替某些常规实验。

渗透和综合

航天工程开辟了人们的视野,现代力学以远远超过牛顿时代的水平再度向天文学渗透。人们用磁流体力学研究太阳风在地球磁场中形成的冲击波,用流体力学结合恒星动力学研究密度波,以解释旋涡星系的螺旋结构,以至用相对论流体力学来研究星系的演化。

航天任务基本实现之后,60年代起许多力学家开始转向新的力学生长点。由冯元桢等奠基创建的生物力学就是一个科学渗透的显著例子。多年来的研究使人们认识到:“没有生物力学,就不能很好地了解生理学。”生物力学在考虑生物的形态和组织的基础上,测定生物材料的力学性质,确定本构关系,再结合力学基本原理解决边值问题,这些已在定量生理学、心血管系统临床问题和生物医学工程方面取得不少成就。

现代力学又向地球科学渗透,在板块动力学、构造应力场、地震预报以及用反演法阐明震源机制、地层结构和地质材料性质方面进行新的探索,并推动岩石力学的研究。

在工程技术方面,如能源开发、环境保护、材料科学、海洋工程、安全防护等综合技术都提出多种多样力学新课题。因此现代力学都必须和别的学科相结合,发展边缘学科解决这些问题。在机器人控制和卫星姿态控制研究中的多刚体系统动力学问题就需要用由力学和控制反馈理论相结合的方法进行研究。

力学向外渗透的同时,在力学内部也出现了综合的倾向。从19世纪力学分为三大支以后,每个分支到20世纪又进一步分化,积累了大量资料,因而提出了概括和提高的任务,需要在统一的基础上把各个分支学科综合起来。

在50年代出现了以C.特鲁斯德尔为代表的理性力学学派,他们重新检核了连续介质力学和热力学的基础,在1958年由W.诺尔提出以确定性原理、局部作用原理和材料的标架无关性原理作为三条公理,按照过去达朗伯关于理性的力学必须建立在显然的公理上的思想,运用演绎的方法推导出弹性和粘性等简单物质的本构关系。

在60~70年代,公理系统续有扩大,经统一处理的理想材料包括粘弹性和塑性等记忆材料,具有微结构的有向材料,非局部作用模型、混合材料以及热-力耦合材料等。在统一处理材料本构关系的同时,理性力学学派还综合讨论了各种介质应共同遵守的通有原理和共有的现象和方法如波动、稳定性、变分方法等。

钱学森指出,理性力学就是连续介质力学的基础理论,它的任务是审核复杂物性物质或材料的基本方程是否和热力学、力学基本原理相容,因而有重要的实际意义。

宏观和微观相结合

从构成物质的微观粒子(如分子、原子、电子)或者细观结构(如晶粒、分子链)的性质及其相互作用出发来确定材料的宏观性质(如本构关系中的弹性系数、松弛函数、热导率、比热),或者解释变形或破坏的机制等等,从40年代到50年代已积累了大量结果。用统计力学方法处理气体的平衡问题已较成熟,但对液体和固体的问题,以及非平衡过程方面的问题则很差。

在40年代用统计力学处理高分子材料的分子网络,得到的贮能函数和用非线性弹性理论所得到的非常接近。这个结果令人鼓舞,但限于弹性范围。1936年G.I.泰勒提出的金属中的位错假说,50年代已被实验证实,并在60年代发展成位错动力学。用位错参数表达的奥罗万应变率公式已经通过“内变量”的桥梁进入宏观的本构关系,沟通了宏观和微观的关系。

材料中往往存在大量裂纹、损伤或裂隙,使连续介质发生间断并影响其力学性能。位错理论和断裂力学分别从微观和宏观的角度突出了缺陷材料性能的重要性,两者之间有密切联系。断裂力学在60年代迅速发展,改变了对强度安全设计和材料评价的传统看法。

宏观和微观的沟通还表现在某些观点上。19世纪统计力学建立以来,经典力学中的确定论和统计力学中的随机论一直是截然不同的两种观点。60~70年代力学和物理学中对混沌现象的研究说明,经典力学系统自身具有内在的随机性。人们又得重新估计经典力学和统计力学之间的联系。

几千年来人类对物质机械运动即力学规律的认识,经历了由浅入深、由表及里的过程。科学的发展总的说来是既有综合又有分析,但在特定的阶段可能有所侧重。

自然科学最早是统一的无所不包的自然哲学,以后物理学从其中分出来,力学又从物理学中分出来,后来力学出现分支学科,再派生出新的分支学科,与此同时还出现综合的倾向。

有一种观点认为,当代自然科学的总趋势是由交叉学科、边缘学科发展成为综合性更强的科学。如果真是这样,力学未来的面目也许很不同于今天。然而有一点则是肯定的,人们对物质世界的认识总是在原先积累的基础上进一步深化。无数相对真理的总和,就是绝对真理。